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	<title>Googology Wiki - 用户贡献 [zh-cn]</title>
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	<updated>2026-04-22T20:18:48Z</updated>
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		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2904</id>
		<title>PPS</title>
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		<updated>2026-02-28T15:00:28Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Parented Predecessor Sequence(PPS)&#039;&#039;&#039;是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是[[项定位方式#2.标记父项位置|标记父项位置]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年8月，PPS2被发现[[无穷降链]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截止到2026年2月28日，目前可以确定大于以下序列的PPS存在无穷降链：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,21,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;18,9,3,0&amp;lt;/span&amp;gt;,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;31,28,9,3,0&amp;lt;/span&amp;gt;,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;36,27,18,9,3,0&amp;lt;/span&amp;gt;,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;42,38,18,9,3,0&amp;lt;/span&amp;gt;,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;span style=&amp;quot;color: green&amp;quot;&amp;gt;48,37,27,18,9,3,0&amp;lt;/span&amp;gt;,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;span style=&amp;quot;color: green&amp;quot;&amp;gt;55,50,27,18,9,3,0&amp;lt;/span&amp;gt;,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;span style=&amp;quot;color: brown&amp;quot;&amp;gt;62,49,37,27,18,9,3,0&amp;lt;/span&amp;gt;,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;span style=&amp;quot;color: brown&amp;quot;&amp;gt;70,64,37,27,18,9,3,0&amp;lt;/span&amp;gt;,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;span style=&amp;quot;color: purple&amp;quot;&amp;gt;78,63,49,37,27,18,9,3,0&amp;lt;/span&amp;gt;,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;span style=&amp;quot;color: purple&amp;quot;&amp;gt;87,80,49,37,27,18,9,3,0&amp;lt;/span&amp;gt;,...&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对PPS无穷降链的寻找可使用[https://github.com/hzyhhzy/AutoGuogaoMachine/tree/master 自动果糕机]进行辅助。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了[[PRRS]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.如果末项是0，则它是后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2.末项之前的部分保持不变&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i&amp;gt;x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项&lt;br /&gt;
=== 分析 ===&lt;br /&gt;
另见[[PPS分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 地府段 ===&lt;br /&gt;
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10 ====&lt;br /&gt;
[[文件:pcf 25-07-22.jpg|缩略图|2025年7月22日，来自PCF]]&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它们分别对应序数&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}\times 2}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
和&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\varepsilon_0}+1}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，&#039;&#039;&#039;四百行&#039;&#039;&#039;扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据3165991573的分析，我们可以确定目前PPS的良序极限为ζ₀，但0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10不良序。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 改版 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 1.2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 1,2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，则比较[以这个项为首的判断序列]和[以坏根为首的判断序列]的字典序，如果前者大(只要存在一个)∨(坏根不在末项祖先链上∧这样的项存在)则弱展开，如果后者大∨这样的项不存在则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L+1，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 3 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 3&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：{&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列以右整数个复制单元长度的列展开：强展开时LNZ行元素的值每次复制时增加一个复制单元长度，其他同“其他项展开”&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2903</id>
		<title>PPS</title>
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		<updated>2026-02-28T14:58:58Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Parented Predecessor Sequence(PPS)&#039;&#039;&#039;是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是[[项定位方式#2.标记父项位置|标记父项位置]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年8月，PPS2被发现[[无穷降链]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截止到2026年2月28日，目前可以确定大于以下序列的PPS存在无穷降链：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,21,&lt;br /&gt;
&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;18,9,3,0&amp;lt;/span&amp;gt;,&lt;br /&gt;
&amp;lt;span style=&amp;quot;color: red&amp;quot;&amp;gt;31,28,9,3,0&amp;lt;/span&amp;gt;,&lt;br /&gt;
&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;36,27,18,9,3,0&amp;lt;/span&amp;gt;,&lt;br /&gt;
&amp;lt;span style=&amp;quot;color: blue&amp;quot;&amp;gt;42,38,18,9,3,0&amp;lt;/span&amp;gt;,&lt;br /&gt;
&amp;lt;span style=&amp;quot;color: green&amp;quot;&amp;gt;48,37,27,18,9,3,0&amp;lt;/span&amp;gt;,&lt;br /&gt;
&amp;lt;span style=&amp;quot;color: green&amp;quot;&amp;gt;55,50,27,18,9,3,0&amp;lt;/span&amp;gt;,&lt;br /&gt;
&amp;lt;span style=&amp;quot;color: brown&amp;quot;&amp;gt;62,49,37,27,18,9,3,0&amp;lt;/span&amp;gt;,&lt;br /&gt;
&amp;lt;span style=&amp;quot;color: brown&amp;quot;&amp;gt;70,64,37,27,18,9,3,0&amp;lt;/span&amp;gt;,&lt;br /&gt;
&amp;lt;span style=&amp;quot;color: purple&amp;quot;&amp;gt;78,63,49,37,27,18,9,3,0&amp;lt;/span&amp;gt;,&lt;br /&gt;
&amp;lt;span style=&amp;quot;color: purple&amp;quot;&amp;gt;87,80,49,37,27,18,9,3,0&amp;lt;/span&amp;gt;,&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对PPS无穷降链的寻找可使用[https://github.com/hzyhhzy/AutoGuogaoMachine/tree/master 自动果糕机]进行辅助。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了[[PRRS]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.如果末项是0，则它是后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2.末项之前的部分保持不变&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i&amp;gt;x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项&lt;br /&gt;
=== 分析 ===&lt;br /&gt;
另见[[PPS分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 地府段 ===&lt;br /&gt;
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10 ====&lt;br /&gt;
[[文件:pcf 25-07-22.jpg|缩略图|2025年7月22日，来自PCF]]&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它们分别对应序数&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}\times 2}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
和&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\varepsilon_0}+1}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，&#039;&#039;&#039;四百行&#039;&#039;&#039;扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据3165991573的分析，我们可以确定目前PPS的良序极限为ζ₀，但0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10不良序。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 改版 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 1.2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 1,2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，则比较[以这个项为首的判断序列]和[以坏根为首的判断序列]的字典序，如果前者大(只要存在一个)∨(坏根不在末项祖先链上∧这样的项存在)则弱展开，如果后者大∨这样的项不存在则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L+1，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 3 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 3&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：{&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列以右整数个复制单元长度的列展开：强展开时LNZ行元素的值每次复制时增加一个复制单元长度，其他同“其他项展开”&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2902</id>
		<title>PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2902"/>
		<updated>2026-02-28T14:43:24Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Parented Predecessor Sequence(PPS)&#039;&#039;&#039;是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是[[项定位方式#2.标记父项位置|标记父项位置]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年8月，PPS2被发现[[无穷降链]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截止到2026年2月28日，目前可以确定大于以下序列的PPS存在无穷降链：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,21,18,9,3,0,31,28,9,3,0,36,27,18,9,3,0,42,38,18,9,3,0,48,37,27,18,9,3,0,55,50,27,18,9,3,0,62,49,37,27,18,9,3,0,70,64,37,27,18,9,3,0,78,63,49,37,27,18,9,3,0,87,80,49,37,27,18,9,3,0,96,79,63,49,37,27,18,9,3,0,106,98,63,49,37,27,18,9,3,0,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对PPS无穷降链的寻找可使用[https://github.com/hzyhhzy/AutoGuogaoMachine/tree/master 自动果糕机]进行辅助。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了[[PRRS]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.如果末项是0，则它是后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2.末项之前的部分保持不变&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i&amp;gt;x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项&lt;br /&gt;
=== 分析 ===&lt;br /&gt;
另见[[PPS分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 地府段 ===&lt;br /&gt;
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10 ====&lt;br /&gt;
[[文件:pcf 25-07-22.jpg|缩略图|2025年7月22日，来自PCF]]&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它们分别对应序数&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}\times 2}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
和&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\varepsilon_0}+1}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，&#039;&#039;&#039;四百行&#039;&#039;&#039;扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据3165991573的分析，我们可以确定目前PPS的良序极限为ζ₀，但0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10不良序。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 改版 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 1.2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 1,2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，则比较[以这个项为首的判断序列]和[以坏根为首的判断序列]的字典序，如果前者大(只要存在一个)∨(坏根不在末项祖先链上∧这样的项存在)则弱展开，如果后者大∨这样的项不存在则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L+1，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 3 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 3&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：{&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列以右整数个复制单元长度的列展开：强展开时LNZ行元素的值每次复制时增加一个复制单元长度，其他同“其他项展开”&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2901</id>
		<title>PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2901"/>
		<updated>2026-02-28T14:41:26Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​无穷降链更新&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Parented Predecessor Sequence(PPS)&#039;&#039;&#039;是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是[[项定位方式#2.标记父项位置|标记父项位置]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年8月，PPS2被发现[[无穷降链]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截止到2026年2月28日，目前可以确定大于以下序列的PPS存在无穷降链：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9,3,0,21,19,3,0,0,21,18,9,3,0,31,28,9,3,0,36,27,18,9,3,0,42,38,18,9,3,0,48,37,27,18,9,3,0,55,50,27,18,9,3,0,62,49,37,27,18,9,3,0,70,64,37,27,18,9,3,0,78,63,49,37,27,18,9,3,0,87,80,49,37,27,18,9,3,0,96,79,63,49,37,27,18,9,3,0,106,98,63,49,37,27,18,9,3,0,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对PPS无穷降链的寻找可使用[https://github.com/hzyhhzy/AutoGuogaoMachine/tree/master 自动果糕机]进行辅助。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了[[PRRS]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.如果末项是0，则它是后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2.末项之前的部分保持不变&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i&amp;gt;x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项&lt;br /&gt;
=== 分析 ===&lt;br /&gt;
另见[[PPS分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 地府段 ===&lt;br /&gt;
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10 ====&lt;br /&gt;
[[文件:pcf 25-07-22.jpg|缩略图|2025年7月22日，来自PCF]]&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它们分别对应序数&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}\times 2}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
和&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\varepsilon_0}+1}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ PPS良序极限是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，&#039;&#039;&#039;四百行&#039;&#039;&#039;扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
根据3165991573的分析，我们可以确定PPS的良序极限为ζ₀&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 改版 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 1.2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 1,2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，则比较[以这个项为首的判断序列]和[以坏根为首的判断序列]的字典序，如果前者大(只要存在一个)∨(坏根不在末项祖先链上∧这样的项存在)则弱展开，如果后者大∨这样的项不存在则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L+1，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 3 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 3&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：{&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列以右整数个复制单元长度的列展开：强展开时LNZ行元素的值每次复制时增加一个复制单元长度，其他同“其他项展开”&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2816</id>
		<title>PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2816"/>
		<updated>2026-02-23T09:16:00Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Parented Predecessor Sequence(PPS)&#039;&#039;&#039;是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是[[项定位方式#2.标记父项位置|标记父项位置]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年8月，PPS2被发现[[无穷降链]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截止到2026年2月23日，目前可以确定大于以下序列的PPS存在无穷降链：&lt;br /&gt;
0,1,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0,2,2,0,5,2,0,8,8,6,0,12,8,6,0,16,16,15,0,16,16,15,0,15,0,26,26,15,0,26,26,13,6,2,0,15,0,38,38,15,0,38,15,0,45,45,13,8,6,0,0,38,15,0,55,55,13,0,59,58,0,62,58,0,63,53,15,0,0,0,62,55,0,74,74,74,72,55&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:blue;&amp;quot;&amp;gt;0,80,80,0,83,80,0,86,86,84,0,90,86,84,0,94,94,93,0,94,94,93,0,93,0,104,104,93,0,104,104,91,84,80,0,93,0,116,116,93,0,116,93,0,123,123,91,86,84,0,0,116,93,0,133,133,91,0,137,136,0,140,136,0,141,131,93,0,0,0,140,133,0,152,152,152,150,133&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:green;&amp;quot;&amp;gt;0,158,158,0,161,158,0,164,164,162,0,168,164,162,0,172,172,171,0,172,172,171,0,171,0,182,182,171,0,182,182,169,162,158,0,171,0,194,194,171,0,194,171,0,201,201,169,164,162,0,0,194,171,0,211,211,169,0,215,214,0,218,214,0,219,209,171,0,0,0,218,211,0,230,230,230,228,211&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:purple;&amp;quot;&amp;gt;0,236,236,0,239,236,0,242,242,240,0,246,242,240,0,250,250,249,0,250,250,249,0,249,0,260,260,249,0,260,260,247,240,236,0,249,0,272,272,249,0,272,249,0,279,279,247,242,240,0,0,272,249,0,289,289,247,0,293,292,0,296,292,0,297,287,249,0,0,0,296,289,0,308,308,308,306,289&amp;lt;/span&amp;gt;,...&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对PPS无穷降链的寻找可使用[https://github.com/hzyhhzy/AutoGuogaoMachine/tree/master 自动果糕机]进行辅助。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了[[PRRS]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.如果末项是0，则它是后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2.末项之前的部分保持不变&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i&amp;gt;x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项&lt;br /&gt;
=== 分析 ===&lt;br /&gt;
另见[[PPS分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 地府段 ===&lt;br /&gt;
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10 ====&lt;br /&gt;
[[文件:pcf 25-07-22.jpg|缩略图|2025年7月22日，来自PCF]]&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它们分别对应序数&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}\times 2}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
和&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\varepsilon_0}+1}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，&#039;&#039;&#039;四百行&#039;&#039;&#039;扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截至目前，我们仍未得知0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10对应哪个序数，不过根据Phyrion的猜测，它有可能&amp;lt;math&amp;gt;\ge \zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 改版 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 1.2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 1,2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，则比较[以这个项为首的判断序列]和[以坏根为首的判断序列]的字典序，如果前者大(只要存在一个)∨(坏根不在末项祖先链上∧这样的项存在)则弱展开，如果后者大∨这样的项不存在则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L+1，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 3 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 3&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：{&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列以右整数个复制单元长度的列展开：强展开时LNZ行元素的值每次复制时增加一个复制单元长度，其他同“其他项展开”&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2811</id>
		<title>PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2811"/>
		<updated>2026-02-23T05:03:19Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Parented Predecessor Sequence(PPS)&#039;&#039;&#039;是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是[[项定位方式#2.标记父项位置|标记父项位置]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年8月，PPS2被发现[[无穷降链]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截止到2026年2月23日，目前可以确定大于以下序列的PPS存在无穷降链：&lt;br /&gt;
0,1,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0,2,2,0,5,2,0,8,8,6,0,12,8,6,0,16,16,15,0,16,16,15,0,15,0,26,26,15,0,26,26,13,6,2,0,15,0,38,38,15,0,38,15,0,45,45,13,8,6,0,0,38,15,0,55,55,13,0,59,59,53,15,0,59,59,53&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:blue;&amp;quot;&amp;gt;0,68,68,0,71,68,0,74,74,72,0,78,74,72,0,82,82,81,0,82,82,81,0,81,0,92,92,81,0,92,92,79,72,68,0,81,0,104,104,81,0,104,81,0,111,111,79,74,72,0,0,104,81,0,121,121,79,0,125,125,119,81,0,125,125,119&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:green;&amp;quot;&amp;gt;0,134,134,0,137,134,0,140,140,138,0,144,140,138,0,148,148,147,0,148,148,147,0,147,0,158,158,147,0,158,158,145,138,134,0,147,0,170,170,147,0,170,147,0,177,177,145,140,138,0,0,170,147,0,187,187,145,0,191,191,185,147,0,191,191,185&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:purple;&amp;quot;&amp;gt;0,200,200,0,203,200,0,206,206,204,0,210,206,204,0,214,214,213,0,214,214,213,0,213,0,224,224,213,0,224,224,211,204,200,0,213,0,236,236,213,0,236,213,0,243,243,211,206,204,0,0,236,213,0,253,253,211,0,257,257,251,213,0,257,257,251&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:orange;&amp;quot;&amp;gt;0,266,266,0,269,266,0,272,272,270,0,276,272,270,0,280,280,279,0,280,280,279,0,279,0,290,290,279,0,290,290,277,270,266,0,279,0,302,302,279,0,302,279,0,309,309,277,272,270,0,0,302,279,0,319,319,277,0,323,323,317,279,0,323,323,317&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:brown;&amp;quot;&amp;gt;0,332,332,0,335,332,0,338,338,336,0,342,338,336,0,346,346,345,0,346,346,345,0,345,0,356,356,345,0,356,356,343,336,332,0,345,0,368,368,345,0,368,345,0,375,375,343,338,336,0,0,368,345,0,385,385,343,0,389,389,383,345,0,389,389,383&amp;lt;/span&amp;gt;,...&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对PPS无穷降链的寻找可使用[https://github.com/hzyhhzy/AutoGuogaoMachine/tree/master 自动果糕机]进行辅助。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了[[PRRS]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.如果末项是0，则它是后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2.末项之前的部分保持不变&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i&amp;gt;x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项&lt;br /&gt;
=== 分析 ===&lt;br /&gt;
另见[[PPS分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 地府段 ===&lt;br /&gt;
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10 ====&lt;br /&gt;
[[文件:pcf 25-07-22.jpg|缩略图|2025年7月22日，来自PCF]]&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它们分别对应序数&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}\times 2}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
和&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\varepsilon_0}+1}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，&#039;&#039;&#039;四百行&#039;&#039;&#039;扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截至目前，我们仍未得知0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10对应哪个序数，不过根据Phyrion的猜测，它有可能&amp;lt;math&amp;gt;\ge \zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 改版 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 1.2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 1,2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，则比较[以这个项为首的判断序列]和[以坏根为首的判断序列]的字典序，如果前者大(只要存在一个)∨(坏根不在末项祖先链上∧这样的项存在)则弱展开，如果后者大∨这样的项不存在则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L+1，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 3 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 3&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：{&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列以右整数个复制单元长度的列展开：强展开时LNZ行元素的值每次复制时增加一个复制单元长度，其他同“其他项展开”&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2810</id>
		<title>PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2810"/>
		<updated>2026-02-23T01:38:02Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Parented Predecessor Sequence(PPS)&#039;&#039;&#039;是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是[[项定位方式#2.标记父项位置|标记父项位置]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年8月，PPS2被发现[[无穷降链]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截止到2026年2月23日，目前可以确定大于以下序列的PPS存在无穷降链：&lt;br /&gt;
0,1,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;5&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;8&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;8&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;6&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;12&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;8&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;6&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;16&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;16&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;15&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;16&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;16&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;15&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;15&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;26&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;26&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;15&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;26&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;26&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;13&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;6&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;15&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;38&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;38&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;15&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;38&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;15&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;45&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;45&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;13&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;8&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span 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&lt;br /&gt;
对PPS无穷降链的寻找可使用[https://github.com/hzyhhzy/AutoGuogaoMachine/tree/master 自动果糕机]进行辅助。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了[[PRRS]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.如果末项是0，则它是后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2.末项之前的部分保持不变&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i&amp;gt;x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项&lt;br /&gt;
=== 分析 ===&lt;br /&gt;
另见[[PPS分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 地府段 ===&lt;br /&gt;
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10 ====&lt;br /&gt;
[[文件:pcf 25-07-22.jpg|缩略图|2025年7月22日，来自PCF]]&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它们分别对应序数&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}\times 2}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
和&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\varepsilon_0}+1}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，&#039;&#039;&#039;四百行&#039;&#039;&#039;扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截至目前，我们仍未得知0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10对应哪个序数，不过根据Phyrion的猜测，它有可能&amp;lt;math&amp;gt;\ge \zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 改版 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 1.2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 1,2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，则比较[以这个项为首的判断序列]和[以坏根为首的判断序列]的字典序，如果前者大(只要存在一个)∨(坏根不在末项祖先链上∧这样的项存在)则弱展开，如果后者大∨这样的项不存在则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L+1，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 3 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 3&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：{&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列以右整数个复制单元长度的列展开：强展开时LNZ行元素的值每次复制时增加一个复制单元长度，其他同“其他项展开”&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2809</id>
		<title>PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2809"/>
		<updated>2026-02-23T01:29:18Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Parented Predecessor Sequence(PPS)&#039;&#039;&#039;是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是[[项定位方式#2.标记父项位置|标记父项位置]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年8月，PPS2被发现[[无穷降链]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截止到2026年2月23日，目前可以确定大于0,1,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;5&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;8&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;8&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;6&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;12&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span 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&lt;br /&gt;
对PPS无穷降链的寻找可使用[https://github.com/hzyhhzy/AutoGuogaoMachine/tree/master 自动果糕机]进行辅助。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了[[PRRS]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.如果末项是0，则它是后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2.末项之前的部分保持不变&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i&amp;gt;x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项&lt;br /&gt;
=== 分析 ===&lt;br /&gt;
另见[[PPS分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 地府段 ===&lt;br /&gt;
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10 ====&lt;br /&gt;
[[文件:pcf 25-07-22.jpg|缩略图|2025年7月22日，来自PCF]]&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它们分别对应序数&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}\times 2}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
和&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\varepsilon_0}+1}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，&#039;&#039;&#039;四百行&#039;&#039;&#039;扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截至目前，我们仍未得知0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10对应哪个序数，不过根据Phyrion的猜测，它有可能&amp;lt;math&amp;gt;\ge \zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 改版 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 1.2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 1,2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，则比较[以这个项为首的判断序列]和[以坏根为首的判断序列]的字典序，如果前者大(只要存在一个)∨(坏根不在末项祖先链上∧这样的项存在)则弱展开，如果后者大∨这样的项不存在则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L+1，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 3 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 3&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：{&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列以右整数个复制单元长度的列展开：强展开时LNZ行元素的值每次复制时增加一个复制单元长度，其他同“其他项展开”&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2808</id>
		<title>PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2808"/>
		<updated>2026-02-23T01:24:49Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Parented Predecessor Sequence(PPS)&#039;&#039;&#039;是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是[[项定位方式#2.标记父项位置|标记父项位置]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年8月，PPS2被发现[[无穷降链]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截止到2026年2月23日，目前PPS的已知良序极限上界为0,1,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;5&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;8&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;8&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;6&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span 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&lt;br /&gt;
对PPS无穷降链的寻找可使用[https://github.com/hzyhhzy/AutoGuogaoMachine/tree/master 自动果糕机]进行辅助。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了[[PRRS]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.如果末项是0，则它是后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2.末项之前的部分保持不变&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i&amp;gt;x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项&lt;br /&gt;
=== 分析 ===&lt;br /&gt;
另见[[PPS分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 地府段 ===&lt;br /&gt;
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10 ====&lt;br /&gt;
[[文件:pcf 25-07-22.jpg|缩略图|2025年7月22日，来自PCF]]&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它们分别对应序数&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}\times 2}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
和&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\varepsilon_0}+1}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，&#039;&#039;&#039;四百行&#039;&#039;&#039;扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截至目前，我们仍未得知0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10对应哪个序数，不过根据Phyrion的猜测，它有可能&amp;lt;math&amp;gt;\ge \zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 改版 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 1.2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 1,2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，则比较[以这个项为首的判断序列]和[以坏根为首的判断序列]的字典序，如果前者大(只要存在一个)∨(坏根不在末项祖先链上∧这样的项存在)则弱展开，如果后者大∨这样的项不存在则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L+1，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 3 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 3&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：{&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列以右整数个复制单元长度的列展开：强展开时LNZ行元素的值每次复制时增加一个复制单元长度，其他同“其他项展开”&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2807</id>
		<title>PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2807"/>
		<updated>2026-02-23T00:37:44Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Parented Predecessor Sequence(PPS)&#039;&#039;&#039;是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是[[项定位方式#2.标记父项位置|标记父项位置]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年8月，PPS2被发现[[无穷降链]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截止到2026年2月23日，目前PPS的已知良序极限(实际可能更低)为0,1,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;5&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;8&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;8&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;6&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;12&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;8&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;6&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;16&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;16&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;15&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;16&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;16&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;15&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span 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&lt;br /&gt;
对PPS无穷降链的寻找可使用[https://github.com/hzyhhzy/AutoGuogaoMachine/tree/master 自动果糕机]进行辅助。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了[[PRRS]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.如果末项是0，则它是后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2.末项之前的部分保持不变&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i&amp;gt;x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项&lt;br /&gt;
=== 分析 ===&lt;br /&gt;
另见[[PPS分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 地府段 ===&lt;br /&gt;
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10 ====&lt;br /&gt;
[[文件:pcf 25-07-22.jpg|缩略图|2025年7月22日，来自PCF]]&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它们分别对应序数&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}\times 2}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
和&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\varepsilon_0}+1}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，&#039;&#039;&#039;四百行&#039;&#039;&#039;扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截至目前，我们仍未得知0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10对应哪个序数，不过根据Phyrion的猜测，它有可能&amp;lt;math&amp;gt;\ge \zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 改版 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 1.2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 1,2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，则比较[以这个项为首的判断序列]和[以坏根为首的判断序列]的字典序，如果前者大(只要存在一个)∨(坏根不在末项祖先链上∧这样的项存在)则弱展开，如果后者大∨这样的项不存在则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L+1，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 3 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 3&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：{&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列以右整数个复制单元长度的列展开：强展开时LNZ行元素的值每次复制时增加一个复制单元长度，其他同“其他项展开”&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2806</id>
		<title>PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2806"/>
		<updated>2026-02-23T00:23:49Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Parented Predecessor Sequence(PPS)&#039;&#039;&#039;是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是[[项定位方式#2.标记父项位置|标记父项位置]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年8月，PPS2被发现[[无穷降链]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截止到2026年2月23日，目前PPS的已知良序极限为0,1,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;5&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;8&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;8&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;6&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;12&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;8&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;6&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;16&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;16&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;15&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;16&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;16&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;15&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span 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&lt;br /&gt;
对PPS无穷降链的寻找可使用[https://github.com/hzyhhzy/AutoGuogaoMachine/tree/master 自动果糕机]进行辅助。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了[[PRRS]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.如果末项是0，则它是后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2.末项之前的部分保持不变&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i&amp;gt;x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项&lt;br /&gt;
=== 分析 ===&lt;br /&gt;
另见[[PPS分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 地府段 ===&lt;br /&gt;
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10 ====&lt;br /&gt;
[[文件:pcf 25-07-22.jpg|缩略图|2025年7月22日，来自PCF]]&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它们分别对应序数&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}\times 2}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
和&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\varepsilon_0}+1}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，&#039;&#039;&#039;四百行&#039;&#039;&#039;扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截至目前，我们仍未得知0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10对应哪个序数，不过根据Phyrion的猜测，它有可能&amp;lt;math&amp;gt;\ge \zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 改版 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 1.2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 1,2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，则比较[以这个项为首的判断序列]和[以坏根为首的判断序列]的字典序，如果前者大(只要存在一个)∨(坏根不在末项祖先链上∧这样的项存在)则弱展开，如果后者大∨这样的项不存在则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L+1，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 3 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 3&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：{&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列以右整数个复制单元长度的列展开：强展开时LNZ行元素的值每次复制时增加一个复制单元长度，其他同“其他项展开”&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
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		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2805</id>
		<title>PPS</title>
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		<updated>2026-02-23T00:20:41Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Parented Predecessor Sequence(PPS)&#039;&#039;&#039;是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是[[项定位方式#2.标记父项位置|标记父项位置]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年8月，PPS2被发现[[无穷降链]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截止到2026年2月23日，目前PPS的已知良序极限为0,1,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;5&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;8&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;8&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;6&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span 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&lt;br /&gt;
对PPS无穷降链的寻找可使用[https://github.com/hzyhhzy/AutoGuogaoMachine/tree/master 自动果糕机]进行辅助。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了[[PRRS]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.如果末项是0，则它是后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2.末项之前的部分保持不变&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i&amp;gt;x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项&lt;br /&gt;
=== 分析 ===&lt;br /&gt;
另见[[PPS分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 地府段 ===&lt;br /&gt;
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10 ====&lt;br /&gt;
[[文件:pcf 25-07-22.jpg|缩略图|2025年7月22日，来自PCF]]&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它们分别对应序数&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}\times 2}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
和&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\varepsilon_0}+1}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，&#039;&#039;&#039;四百行&#039;&#039;&#039;扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截至目前，我们仍未得知0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10对应哪个序数，不过根据Phyrion的猜测，它有可能&amp;lt;math&amp;gt;\ge \zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 改版 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 1.2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 1,2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，则比较[以这个项为首的判断序列]和[以坏根为首的判断序列]的字典序，如果前者大(只要存在一个)∨(坏根不在末项祖先链上∧这样的项存在)则弱展开，如果后者大∨这样的项不存在则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L+1，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 3 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 3&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：{&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列以右整数个复制单元长度的列展开：强展开时LNZ行元素的值每次复制时增加一个复制单元长度，其他同“其他项展开”&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2804</id>
		<title>PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2804"/>
		<updated>2026-02-23T00:14:37Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Parented Predecessor Sequence(PPS)&#039;&#039;&#039;是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是[[项定位方式#2.标记父项位置|标记父项位置]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年8月，PPS2被发现[[无穷降链]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截止到2026年2月23日，目前PPS的已知良序极限为0,1,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;5&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;8&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;8&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;6&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span 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对PPS无穷降链的寻找可使用[https://github.com/hzyhhzy/AutoGuogaoMachine/tree/master 自动果糕机]进行辅助。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了[[PRRS]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.如果末项是0，则它是后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2.末项之前的部分保持不变&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i&amp;gt;x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项&lt;br /&gt;
=== 分析 ===&lt;br /&gt;
另见[[PPS分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 地府段 ===&lt;br /&gt;
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10 ====&lt;br /&gt;
[[文件:pcf 25-07-22.jpg|缩略图|2025年7月22日，来自PCF]]&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它们分别对应序数&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}\times 2}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
和&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\varepsilon_0}+1}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，&#039;&#039;&#039;四百行&#039;&#039;&#039;扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截至目前，我们仍未得知0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10对应哪个序数，不过根据Phyrion的猜测，它有可能&amp;lt;math&amp;gt;\ge \zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 改版 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 1.2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 1,2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，则比较[以这个项为首的判断序列]和[以坏根为首的判断序列]的字典序，如果前者大(只要存在一个)∨(坏根不在末项祖先链上∧这样的项存在)则弱展开，如果后者大∨这样的项不存在则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L+1，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 3 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 3&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：{&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列以右整数个复制单元长度的列展开：强展开时LNZ行元素的值每次复制时增加一个复制单元长度，其他同“其他项展开”&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2803</id>
		<title>PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2803"/>
		<updated>2026-02-23T00:12:55Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Parented Predecessor Sequence(PPS)&#039;&#039;&#039;是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是[[项定位方式#2.标记父项位置|标记父项位置]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年8月，PPS2被发现[[无穷降链]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截止到2026年2月22日，目前PPS的已知良序极限为0,1,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;5&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;8&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;8&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;6&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;12&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;8&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;6&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;16&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;16&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;15&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;16&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;16&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;15&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span 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&lt;br /&gt;
对PPS无穷降链的寻找可使用[https://github.com/hzyhhzy/AutoGuogaoMachine/tree/master 自动果糕机]进行辅助。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了[[PRRS]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.如果末项是0，则它是后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2.末项之前的部分保持不变&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i&amp;gt;x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项&lt;br /&gt;
=== 分析 ===&lt;br /&gt;
另见[[PPS分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 地府段 ===&lt;br /&gt;
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10 ====&lt;br /&gt;
[[文件:pcf 25-07-22.jpg|缩略图|2025年7月22日，来自PCF]]&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它们分别对应序数&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}\times 2}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
和&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\varepsilon_0}+1}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，&#039;&#039;&#039;四百行&#039;&#039;&#039;扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截至目前，我们仍未得知0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10对应哪个序数，不过根据Phyrion的猜测，它有可能&amp;lt;math&amp;gt;\ge \zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 改版 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 1.2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 1,2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，则比较[以这个项为首的判断序列]和[以坏根为首的判断序列]的字典序，如果前者大(只要存在一个)∨(坏根不在末项祖先链上∧这样的项存在)则弱展开，如果后者大∨这样的项不存在则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L+1，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 3 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 3&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：{&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列以右整数个复制单元长度的列展开：强展开时LNZ行元素的值每次复制时增加一个复制单元长度，其他同“其他项展开”&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2802</id>
		<title>PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2802"/>
		<updated>2026-02-23T00:07:58Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Parented Predecessor Sequence(PPS)&#039;&#039;&#039;是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是[[项定位方式#2.标记父项位置|标记父项位置]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年8月，PPS2被发现[[无穷降链]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截止到2026年2月22日，目前PPS的已知良序极限为0,1,0,2,2,0,5,2,0,8,8,6,0,12,8,6,0,16,16,15,0,16,16,15,0,15,0,26,26,15,0,26,26,13,6,2,0,15,0,38,38,15,0,38,15,0,45,45,13,8,6,0,51,43,15,0,0,45,45,13,0,60,60,0,63,60,0,66,66,64,0,70,66,64,0,74,74,73,0,74,74,73,0,73,0,84,84,73,0,84,84,71,64,60,0,73,0,96,96,73,0,96,73,0,103,103,71,66,64,0,109,101,73,0,0,103,103,71,0,118,118,0,121,118,0,124,124,122,0,128,124,122,0,132,132,131,0,132,132,131,0,131,0,142,142,131,0,142,142,129,122,118,0,131,0,154,154,131,0,154,131,0,161,161,129,124,122,0,167,159,131,0,0,161,161,129,0,176,176,0,179,176,0,182,182,180,0,186,182,180,0,190,190,189,0,190,190,189,0,189,0,200,200,189,0,200,200,187,180,176,0,189,0,212,212,189,0,212,189,0,219,219,187,182,180,0,225,217,189,0,0,219,219,187,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;0&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;234&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red;&amp;quot;&amp;gt;234&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span 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&lt;br /&gt;
对PPS无穷降链的寻找可使用[https://github.com/hzyhhzy/AutoGuogaoMachine/tree/master 自动果糕机]进行辅助。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了[[PRRS]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.如果末项是0，则它是后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2.末项之前的部分保持不变&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i&amp;gt;x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项&lt;br /&gt;
=== 分析 ===&lt;br /&gt;
另见[[PPS分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 地府段 ===&lt;br /&gt;
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10 ====&lt;br /&gt;
[[文件:pcf 25-07-22.jpg|缩略图|2025年7月22日，来自PCF]]&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它们分别对应序数&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}\times 2}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
和&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\varepsilon_0}+1}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，&#039;&#039;&#039;四百行&#039;&#039;&#039;扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截至目前，我们仍未得知0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10对应哪个序数，不过根据Phyrion的猜测，它有可能&amp;lt;math&amp;gt;\ge \zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 改版 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 1.2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 1,2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，则比较[以这个项为首的判断序列]和[以坏根为首的判断序列]的字典序，如果前者大(只要存在一个)∨(坏根不在末项祖先链上∧这样的项存在)则弱展开，如果后者大∨这样的项不存在则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L+1，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 3 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 3&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：{&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列以右整数个复制单元长度的列展开：强展开时LNZ行元素的值每次复制时增加一个复制单元长度，其他同“其他项展开”&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2800</id>
		<title>PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2800"/>
		<updated>2026-02-22T15:04:15Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Parented Predecessor Sequence(PPS)&#039;&#039;&#039;是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是[[项定位方式#2.标记父项位置|标记父项位置]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年8月，PPS2被发现[[无穷降链]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截止到2026年2月22日，目前PPS的已知良序极限为0,1,0,2,2,0,5,2,0,8,8,6,0,12,8,6,0,16,16,15,0,16,16,15,0,15,0,26,26,15,0,26,26,13,6,2,0,26,13,8,6,0,0,15,0,44,44,15,0,44,15,0,51,51,0,54,54,49,15,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:blue&amp;quot;&amp;gt;0,59,59,0,62,59,0,65,65,63,0,69,65,63,0,73,73,72,0,73,73,72,0,72,0,83,83,72,0,83,83,70,63,59,0,83,70,65,63,0,0,72,0,101,101,72,0,101,72,0,108,108,0,111,111,106,72&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red&amp;quot;&amp;gt;0,116,116,0,119,116,0,122,122,120,0,126,122,120,0,130,130,129,0,130,130,129,0,129,0,140,140,129,0,140,140,127,120,116,0,140,127,122,120,0,0,129,0,158,158,129,0,158,129,0,165,165,0,168,168,163,129&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:green&amp;quot;&amp;gt;0,173,173,0,176,173,0,179,179,177,0,183,179,177,0,187,187,186,0,187,187,186,0,186,0,197,197,186,0,197,197,184,177,173,0,197,184,179,177,0,0,186,0,215,215,186,0,215,186,0,222,222,0,225,225,220,186&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:blue&amp;quot;&amp;gt;0,230,230,0,233,230,0,236,236,234,0,240,236,234,0,244,244,243,0,244,244,243,0,243,0,254,254,243,0,254,254,241,234,230,0,254,241,236,234,0,0,243,0,272,272,243,0,272,243,0,279,279,0,282,282,277,243&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red&amp;quot;&amp;gt;0,287,287,0,290,287,0,293,293,291,0,297,293,291,0,301,301,300,0,301,301,300,0,300,0,311,311,300,0,311,311,298,291,287,0,311,298,293,291,0,0,300,0,329,329,300,0,329,300,0,336,336,0,339,339,334,300&amp;lt;/span&amp;gt;...&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对PPS无穷降链的寻找可使用[https://github.com/hzyhhzy/AutoGuogaoMachine/tree/master 自动果糕机]进行辅助。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了[[PRRS]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.如果末项是0，则它是后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2.末项之前的部分保持不变&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i&amp;gt;x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项&lt;br /&gt;
=== 分析 ===&lt;br /&gt;
另见[[PPS分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 地府段 ===&lt;br /&gt;
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10 ====&lt;br /&gt;
[[文件:pcf 25-07-22.jpg|缩略图|2025年7月22日，来自PCF]]&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它们分别对应序数&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}\times 2}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
和&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\varepsilon_0}+1}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，&#039;&#039;&#039;四百行&#039;&#039;&#039;扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截至目前，我们仍未得知0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10对应哪个序数，不过根据Phyrion的猜测，它有可能&amp;lt;math&amp;gt;\ge \zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 改版 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 1.2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 1,2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，则比较[以这个项为首的判断序列]和[以坏根为首的判断序列]的字典序，如果前者大(只要存在一个)∨(坏根不在末项祖先链上∧这样的项存在)则弱展开，如果后者大∨这样的项不存在则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L+1，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 3 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 3&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：{&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列以右整数个复制单元长度的列展开：强展开时LNZ行元素的值每次复制时增加一个复制单元长度，其他同“其他项展开”&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2799</id>
		<title>PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2799"/>
		<updated>2026-02-22T15:03:05Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Parented Predecessor Sequence(PPS)&#039;&#039;&#039;是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是[[项定位方式#2.标记父项位置|标记父项位置]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年8月，PPS2被发现[[无穷降链]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截止到2026年2月22日，目前PPS的已知良序极限为0,1,0,2,2,0,5,2,0,8,8,6,0,12,8,6,0,16,16,15,0,16,16,15,0,15,0,26,26,15,0,26,26,13,6,2,0,26,13,8,6,0,0,15,0,44,44,15,0,44,15,0,51,51,0,54,54,49,15,0,59,59,0,62,59,0,65,65,63,0,69,65,63,0,73,73,72,0,73,73,72,0,72,0,83,83,72,0,83,83,70,63,59,0,83,70,65,63,0,0,72,0,101,101,72,0,101,72,0,108,108,0,111,111,106,72,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red&amp;quot;&amp;gt;0,116,116,0,119,116,0,122,122,120,0,126,122,120,0,130,130,129,0,130,130,129,0,129,0,140,140,129,0,140,140,127,120,116,0,140,127,122,120,0,0,129,0,158,158,129,0,158,129,0,165,165,0,168,168,163,129&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:green&amp;quot;&amp;gt;0,173,173,0,176,173,0,179,179,177,0,183,179,177,0,187,187,186,0,187,187,186,0,186,0,197,197,186,0,197,197,184,177,173,0,197,184,179,177,0,0,186,0,215,215,186,0,215,186,0,222,222,0,225,225,220,186&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:blue&amp;quot;&amp;gt;0,230,230,0,233,230,0,236,236,234,0,240,236,234,0,244,244,243,0,244,244,243,0,243,0,254,254,243,0,254,254,241,234,230,0,254,241,236,234,0,0,243,0,272,272,243,0,272,243,0,279,279,0,282,282,277,243&amp;lt;/span&amp;gt;,&amp;lt;span style=&amp;quot;color:red&amp;quot;&amp;gt;0,287,287,0,290,287,0,293,293,291,0,297,293,291,0,301,301,300,0,301,301,300,0,300,0,311,311,300,0,311,311,298,291,287,0,311,298,293,291,0,0,300,0,329,329,300,0,329,300,0,336,336,0,339,339,334,300&amp;lt;/span&amp;gt;...&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对PPS无穷降链的寻找可使用[https://github.com/hzyhhzy/AutoGuogaoMachine/tree/master 自动果糕机]进行辅助。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了[[PRRS]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.如果末项是0，则它是后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2.末项之前的部分保持不变&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i&amp;gt;x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项&lt;br /&gt;
=== 分析 ===&lt;br /&gt;
另见[[PPS分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 地府段 ===&lt;br /&gt;
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10 ====&lt;br /&gt;
[[文件:pcf 25-07-22.jpg|缩略图|2025年7月22日，来自PCF]]&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它们分别对应序数&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}\times 2}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
和&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\varepsilon_0}+1}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，&#039;&#039;&#039;四百行&#039;&#039;&#039;扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截至目前，我们仍未得知0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10对应哪个序数，不过根据Phyrion的猜测，它有可能&amp;lt;math&amp;gt;\ge \zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 改版 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 1.2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 1,2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，则比较[以这个项为首的判断序列]和[以坏根为首的判断序列]的字典序，如果前者大(只要存在一个)∨(坏根不在末项祖先链上∧这样的项存在)则弱展开，如果后者大∨这样的项不存在则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L+1，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 3 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 3&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：{&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列以右整数个复制单元长度的列展开：强展开时LNZ行元素的值每次复制时增加一个复制单元长度，其他同“其他项展开”&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2798</id>
		<title>PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2798"/>
		<updated>2026-02-22T14:52:33Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Parented Predecessor Sequence(PPS)&#039;&#039;&#039;是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是[[项定位方式#2.标记父项位置|标记父项位置]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年8月，PPS2被发现[[无穷降链]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截止到2026年2月22日，目前PPS的已知良序极限为0,1,0,2,2,0,5,2,0,8,8,6,0,12,8,6,0,16,16,15,0,16,16,15,0,15,0,26,26,15,0,26,26,13,6,2,0,26,13,8,6,0,0,15,0,44,44,15,0,44,15,0,51,51,0,54,54,49,15,0,59,59,0,62,59,0,65,65,63,0,69,65,63,0,73,73,72,0,73,73,72,0,72,0,83,83,72,0,83,83,70,63,59,0,83,70,65,63,0,0,72,0,101,101,72,0,101,72,0,108,108,0,111,111,106,72,0,116,116,0,119,116,0,122,122,120,0,126,122,120,0,130,130,129,0,130,130,129,0,129,0,140,140,129,0,140,140,127,120,116,0,140,127,122,120,0,0,129,0,158,158,129,0,158,129,0,165,165,0,168,168,163,129,0,173,173,0,176,173,0,179,179,177,0,183,179,177,0,187,187,186,0,187,187,186,0,186,0,197,197,186,0,197,197,184,177,173,0,197,184,179,177,0,0,186,0,215,215,186,0,215,186,0,222,222,0,225,225,220,186,0,230,230,0,233,230,0,236,236,234,0,240,236,234,0,244,244,243,0,244,244,243,0,243,0,254,254,243,0,254,254,241,234,230,0,254,241,236,234,0,0,243,0,272,272,243,0,272,243,0,279,279,0,282,282,277,243,0,287,287,0,290,287,0,293,293,291,0,297,293,291,0,301,301,300,0,301,301,300,0,300,0,311,311,300,0,311,311,298,291,287,0,311,298,293,291,0,0,300,0,329,329,300,0,329,300,0,336,336,0,339,339,334,300...&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对PPS无穷降链的寻找可使用[https://github.com/hzyhhzy/AutoGuogaoMachine/tree/master 自动果糕机]进行辅助。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了[[PRRS]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.如果末项是0，则它是后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2.末项之前的部分保持不变&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i&amp;gt;x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项&lt;br /&gt;
=== 分析 ===&lt;br /&gt;
另见[[PPS分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 地府段 ===&lt;br /&gt;
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10 ====&lt;br /&gt;
[[文件:pcf 25-07-22.jpg|缩略图|2025年7月22日，来自PCF]]&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它们分别对应序数&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}\times 2}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
和&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\varepsilon_0}+1}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，&#039;&#039;&#039;四百行&#039;&#039;&#039;扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截至目前，我们仍未得知0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10对应哪个序数，不过根据Phyrion的猜测，它有可能&amp;lt;math&amp;gt;\ge \zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 改版 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 1.2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 1,2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，则比较[以这个项为首的判断序列]和[以坏根为首的判断序列]的字典序，如果前者大(只要存在一个)∨(坏根不在末项祖先链上∧这样的项存在)则弱展开，如果后者大∨这样的项不存在则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L+1，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 3 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 3&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：{&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列以右整数个复制单元长度的列展开：强展开时LNZ行元素的值每次复制时增加一个复制单元长度，其他同“其他项展开”&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2797</id>
		<title>PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2797"/>
		<updated>2026-02-22T14:52:23Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Parented Predecessor Sequence(PPS)&#039;&#039;&#039;是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是[[项定位方式#2.标记父项位置|标记父项位置]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年8月，PPS2被发现[[无穷降链]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截止到2026年2月21日，目前PPS的已知良序极限为0,1,0,2,2,0,5,2,0,8,8,6,0,12,8,6,0,16,16,15,0,16,16,15,0,15,0,26,26,15,0,26,26,13,6,2,0,26,13,8,6,0,0,15,0,44,44,15,0,44,15,0,51,51,0,54,54,49,15,0,59,59,0,62,59,0,65,65,63,0,69,65,63,0,73,73,72,0,73,73,72,0,72,0,83,83,72,0,83,83,70,63,59,0,83,70,65,63,0,0,72,0,101,101,72,0,101,72,0,108,108,0,111,111,106,72,0,116,116,0,119,116,0,122,122,120,0,126,122,120,0,130,130,129,0,130,130,129,0,129,0,140,140,129,0,140,140,127,120,116,0,140,127,122,120,0,0,129,0,158,158,129,0,158,129,0,165,165,0,168,168,163,129,0,173,173,0,176,173,0,179,179,177,0,183,179,177,0,187,187,186,0,187,187,186,0,186,0,197,197,186,0,197,197,184,177,173,0,197,184,179,177,0,0,186,0,215,215,186,0,215,186,0,222,222,0,225,225,220,186,0,230,230,0,233,230,0,236,236,234,0,240,236,234,0,244,244,243,0,244,244,243,0,243,0,254,254,243,0,254,254,241,234,230,0,254,241,236,234,0,0,243,0,272,272,243,0,272,243,0,279,279,0,282,282,277,243,0,287,287,0,290,287,0,293,293,291,0,297,293,291,0,301,301,300,0,301,301,300,0,300,0,311,311,300,0,311,311,298,291,287,0,311,298,293,291,0,0,300,0,329,329,300,0,329,300,0,336,336,0,339,339,334,300...&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对PPS无穷降链的寻找可使用[https://github.com/hzyhhzy/AutoGuogaoMachine/tree/master 自动果糕机]进行辅助。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了[[PRRS]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.如果末项是0，则它是后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2.末项之前的部分保持不变&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i&amp;gt;x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项&lt;br /&gt;
=== 分析 ===&lt;br /&gt;
另见[[PPS分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 地府段 ===&lt;br /&gt;
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10 ====&lt;br /&gt;
[[文件:pcf 25-07-22.jpg|缩略图|2025年7月22日，来自PCF]]&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它们分别对应序数&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}\times 2}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
和&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\varepsilon_0}+1}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，&#039;&#039;&#039;四百行&#039;&#039;&#039;扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截至目前，我们仍未得知0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10对应哪个序数，不过根据Phyrion的猜测，它有可能&amp;lt;math&amp;gt;\ge \zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 改版 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 1.2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 1,2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 2 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 2&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，则比较[以这个项为首的判断序列]和[以坏根为首的判断序列]的字典序，如果前者大(只要存在一个)∨(坏根不在末项祖先链上∧这样的项存在)则弱展开，如果后者大∨这样的项不存在则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L+1，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== PPM 3 ====&lt;br /&gt;
Parented Predecessor Matrix 3&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：(0)(1,1,1,1,1,...)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
LNZ：末列的最大非零行序号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
坏根：第(末项的值)列LNZ行的元素，其中末项是末列LNZ行（首项的列标是1、首项是第1项）；如果末列是全0，则表示后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记此时末项的列标减末项的值为L，坏根的值为b、列标为c，末项的值为x、列标为y&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列展开：{&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
把末列LNZ-1行的祖先链上（设第0行父项固定为前一项）所有列的LNZ行元素提取出来组成判断序列；在判断序列中，如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b则弱展开，否则强展开。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
弱展开：LNZ行之前的不变，LNZ行及之后的用坏根列的相同行元素替换&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
强展开：LNZ行之前的不变，LNZ行的值减一，LNZ行之后的行是(坏根列同行元素+展开后末项的值-坏根项的值)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
末列以右整数个复制单元长度的列展开：强展开时LNZ行元素的值每次复制时增加一个复制单元长度，其他同“其他项展开”&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其他项展开：对任意的i&amp;gt;y-L，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
基本列[n]为展开到第y+nL-1项{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=Loader_%E6%95%B0&amp;diff=2795</id>
		<title>Loader 数</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=Loader_%E6%95%B0&amp;diff=2795"/>
		<updated>2026-02-22T09:31:43Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Loader 数&#039;&#039;&#039;是 Ralph Loader 的 C 语言程序 &#039;&#039;&#039;Loader.c&#039;&#039;&#039; 的输出 &amp;lt;math&amp;gt;D^5(99)&amp;lt;/math&amp;gt;，它在 2001 年的 [[Bignum Bakeoff]] 比赛（用不超过 512 字的代码生成尽可能大的有限整数）中获得第一名。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中 D 函数的强度取决于 Huet-Coquand 构造演算（CoC）的证明论强度，其增长率达到了 &amp;lt;math&amp;gt;{\rm PTO}(Z_\omega)&amp;lt;/math&amp;gt;。迄今为止，它仍然是最强的可计算函数之一。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
Loader.c 的源代码&amp;lt;ref&amp;gt;https://github.com/rcls/busy&amp;lt;/ref&amp;gt;如下：&amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;c&amp;quot; line=&amp;quot;1&amp;quot;&amp;gt;&lt;br /&gt;
#define R { return&lt;br /&gt;
#define P P (&lt;br /&gt;
#define L L (&lt;br /&gt;
#define T S (v, y, c,&lt;br /&gt;
#define C ),&lt;br /&gt;
#define X x)&lt;br /&gt;
#define F );}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
int r, a;&lt;br /&gt;
P y, X&lt;br /&gt;
   R y - ~y &amp;lt;&amp;lt; x;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
Z (X&lt;br /&gt;
   R r = x % 2 ? 0 : 1 + Z (x / 2 F&lt;br /&gt;
L X&lt;br /&gt;
   R x / 2 &amp;gt;&amp;gt; Z (x F&lt;br /&gt;
#define U = S(4,13,-4,&lt;br /&gt;
T  t)&lt;br /&gt;
{&lt;br /&gt;
   int&lt;br /&gt;
      f = L t C         &lt;br /&gt;
      x = r;&lt;br /&gt;
   R&lt;br /&gt;
         f - 2 ?&lt;br /&gt;
         f &amp;gt; 2 ?&lt;br /&gt;
         f - v ? t - (f &amp;gt; v) * c : y :&lt;br /&gt;
         P f, P T  L X  C &lt;br /&gt;
                          S (v+2, t  U y C  c, Z (X )))&lt;br /&gt;
         :&lt;br /&gt;
         A (T  L X  C &lt;br /&gt;
                T  Z (X ) F&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
A (y, X&lt;br /&gt;
   R L y) - 1&lt;br /&gt;
      ? 5 &amp;lt;&amp;lt; P y, X &lt;br /&gt;
      : S (4, x, 4, Z (r) F&lt;br /&gt;
#define B (x /= 2) % 2 &amp;amp;&amp;amp; (&lt;br /&gt;
D (X &lt;br /&gt;
{&lt;br /&gt;
   int&lt;br /&gt;
      f,&lt;br /&gt;
      d,&lt;br /&gt;
      c = 0,&lt;br /&gt;
      t = 7,&lt;br /&gt;
      u = 14;&lt;br /&gt;
   while (x &amp;amp;&amp;amp; D (x - 1 C  B 1))&lt;br /&gt;
      d = L L D (X ) C&lt;br /&gt;
         f = L r C&lt;br /&gt;
         x = L r C&lt;br /&gt;
         c - r || (&lt;br /&gt;
            L u) || L r) - f ||&lt;br /&gt;
            B u = S (4, d, 4, r C &lt;br /&gt;
                   t = A (t, d) C&lt;br /&gt;
            f / 2 &amp;amp; B  c = P d, c C &lt;br /&gt;
                              t  U t C &lt;br /&gt;
                              u  U u) )&lt;br /&gt;
             C&lt;br /&gt;
         c &amp;amp;&amp;amp; B&lt;br /&gt;
            t = P&lt;br /&gt;
               ~u &amp;amp; 2 | B&lt;br /&gt;
                  u = 1 &amp;lt;&amp;lt; P L c C  u) C &lt;br /&gt;
               P L c C  t) C&lt;br /&gt;
            c = r  C&lt;br /&gt;
         u / 2 &amp;amp; B &lt;br /&gt;
            c = P t, c C &lt;br /&gt;
            u  U t C &lt;br /&gt;
            t = 9 );&lt;br /&gt;
   R a = P P t, P u, P x, c)) C &lt;br /&gt;
                                a F&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
main ()&lt;br /&gt;
   R D (D (D (D (D (99)))) F&lt;br /&gt;
&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;此外，Loader 还给出了可读性更高的版本（我们使用中文注释）：&amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;c&amp;quot;&amp;gt;&lt;br /&gt;
//Tree、INT、TREE、BitStream 都被定义为 int，只是为了区分用途。&lt;br /&gt;
//把宏 DESCEND 直接展开为变量 xx，用于 while 里的递归控制。&lt;br /&gt;
typedef int Tree;&lt;br /&gt;
typedef int INT;&lt;br /&gt;
typedef int TREE;&lt;br /&gt;
typedef int BitStream;&lt;br /&gt;
#define DESCEND xx&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
// 全局临时变量：&lt;br /&gt;
// lastRight —— 用于在解码配对结构时暂存“另一半”值；&lt;br /&gt;
// accumulate —— 累积所有推导结果（每个结果是(term, type, 剩余比特流, context) 四元组的配对编码）。&lt;br /&gt;
Tree lastRight, accumulate;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
// —— 基础编码：二元配对函数 ——&lt;br /&gt;
// 将两个非负整数 yy, xx 编码为一个整数，保证一一对应（双射）。&lt;br /&gt;
// 公式：Pair(yy,xx) = (yy − ~yy) &amp;lt;&amp;lt; xx = (2*yy + 1) &amp;lt;&amp;lt; xx&lt;br /&gt;
// 这样低位的连续零数目即为 xx，高位奇数部分即为 2*yy+1，方便快速解码。&lt;br /&gt;
TREE Pair (TREE yy, TREE xx)&lt;br /&gt;
{&lt;br /&gt;
   return yy - ~yy &amp;lt;&amp;lt; xx;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
// —— 解码：取配对的第二个分量 ——&lt;br /&gt;
// 从编码值 xx 中恢复出原始的第二个参数（移位次数）。&lt;br /&gt;
// 逻辑：若 xx 为奇数，则移位次数为 0；否则不断除以 2 并累加，直到遇到奇数。&lt;br /&gt;
// 计算结果同时写入 lastRight。&lt;br /&gt;
TREE Right (TREE xx)&lt;br /&gt;
{&lt;br /&gt;
   return lastRight = xx % 2 ? 0 : 1 + Right (xx / 2);&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
// —— 解码：取配对的第一个分量 ——&lt;br /&gt;
// 先将编码右移 1 位（去除最低位信息），再右移 Right(xx) 位，得到原始的 yy。&lt;br /&gt;
// 上一次调用 Right 时已经把移位计数存入 lastRight，因此这里可直接使用。&lt;br /&gt;
TREE Left (TREE xx)&lt;br /&gt;
{&lt;br /&gt;
   return xx / 2 &amp;gt;&amp;gt; Right (xx);&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
// —— 宏：提升（Lift） ——&lt;br /&gt;
// 将所有自由变量的 De Bruijn 索引统一 +1，维护绑定层级。&lt;br /&gt;
// 通过 Subst(vv=4, yy=13, context=-4, term=xx) 实现。&lt;br /&gt;
#define Lift(xx) Subst (4, 13, -4, xx)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
// —— 归一化替换（Subst） ——&lt;br /&gt;
// 在 term 中，将索引 vv 的变量替换为术语 yy，并对索引 &amp;gt; vv 的变量减去 context。&lt;br /&gt;
// 同时对 λ 抽象 (aux=0)、Π 构造 (aux=1) 和函数应用 (aux=2) 等节点进行递归归一化。&lt;br /&gt;
// 参数说明：&lt;br /&gt;
//  vv      : 要替换的变量索引&lt;br /&gt;
//  yy      : 用来替换的术语（已规范化）&lt;br /&gt;
//  context : 替换后，所有更大索引变量需减去的偏移&lt;br /&gt;
//  term    : 待处理的术语编码&lt;br /&gt;
TREE Subst (INT vv, TREE yy, INT context, TREE term)&lt;br /&gt;
{&lt;br /&gt;
   Tree aux = Left (term),    // 当前节点类型：0=λ，1=Π，2=应用，&amp;gt;2=变量/常量&lt;br /&gt;
        xx  = lastRight;     // 当前节点主体或子配对&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
   // 按节点类型分支处理&lt;br /&gt;
   if (aux == 2) {&lt;br /&gt;
      // 应用节点：先递归替换，再用 Apply 做 β-归约或重构&lt;br /&gt;
      return Apply (&lt;br /&gt;
         Subst (vv, yy, context, Left (xx)),&lt;br /&gt;
         Subst (vv, yy, context, Right (xx))&lt;br /&gt;
      );&lt;br /&gt;
   }&lt;br /&gt;
   else if (aux &amp;gt; 2) {&lt;br /&gt;
      // 变量或常量：&lt;br /&gt;
      // 若 aux == vv，则替换为 yy；否则若 aux&amp;gt;vv，就减去偏移 context&lt;br /&gt;
      return aux == vv&lt;br /&gt;
         ? yy&lt;br /&gt;
         : term - (aux &amp;gt; vv ? context : 0);&lt;br /&gt;
   }&lt;br /&gt;
   else {&lt;br /&gt;
      // 抽象节点：aux==0 为 λ，aux==1 为 Π&lt;br /&gt;
      // 构造新配对 (aux, (子项1&#039;, 子项2&#039;))&lt;br /&gt;
      // 对右子树的 yy 先做 Lift 以调整绑定深度&lt;br /&gt;
      return Pair (&lt;br /&gt;
         aux,&lt;br /&gt;
         Pair (&lt;br /&gt;
            Subst (vv, yy,     context,        Left  (xx)),&lt;br /&gt;
            Subst (vv+2, Lift(yy), context,        Right (xx))&lt;br /&gt;
         )&lt;br /&gt;
      );&lt;br /&gt;
   }&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
// —— 函数应用归一化（Apply） ——&lt;br /&gt;
// 若 yy 的操作码 Left(yy)==1（λ 抽象），则对其主体做一次 β-归约：Subst(4, xx, 4, body)。&lt;br /&gt;
// 否则重构应用节点 Pair(2, Pair(yy, xx))。&lt;br /&gt;
TREE Apply (TREE yy, TREE xx)&lt;br /&gt;
{&lt;br /&gt;
   return Left (yy) == 1&lt;br /&gt;
      ? Subst (4, xx, 4, Right (lastRight))&lt;br /&gt;
      : Pair (2, Pair (yy, xx));&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
// —— 比特流测试宏 ——&lt;br /&gt;
// 把 xx 当作待消费的比特流，每用一次 xx/=2，测试被除后最低位是否为 1。&lt;br /&gt;
#define MAYBE (xx /= 2) % 2 &amp;amp;&amp;amp;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
// —— 主推导过程（Derive） ——&lt;br /&gt;
// 将整数 xx 视作一条比特流，按照 Curry–Howard 同构/类型规则生成所有可能的 λ 术语并归一化。&lt;br /&gt;
// 输出的(term, type, 剩余比特流, context) 四元组不断累加到全局 accumulate 中。&lt;br /&gt;
// 算法概览：&lt;br /&gt;
// 1. 递归调用 Derive(xx-1)，保证对所有小于 xx 的比特串也进行推导，确保单调增长。&lt;br /&gt;
// 2. 在 while 循环中，依次用 MAYBE 消费一位比特，决定是否执行对应规则：&lt;br /&gt;
//    - APPLY (函数应用 β-归约)&lt;br /&gt;
//    - 弱化 (Weaken，将新假设压入上下文，并提升当前项/类型)&lt;br /&gt;
//    - Π 构造 / λ 引入&lt;br /&gt;
//    - 变量引入 (VAR(0))&lt;br /&gt;
// 3. 每次规则应用后，把当前 term/type/剩余比特流/context 打包配对累积。&lt;br /&gt;
TREE Derive (BitStream xx)&lt;br /&gt;
{&lt;br /&gt;
   Tree aux, auxTerm;&lt;br /&gt;
   Tree context = 0,           // 初始空上下文&lt;br /&gt;
        term    = 7,           // STAR 常量：Pair(3,0)=7&lt;br /&gt;
        type    = 14;          // BOX 常量：Pair(3,1)=14&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
   // while 条件中先递归 Derive(xx-1)，再根据下一位比特决定是否进入循环体&lt;br /&gt;
   while (DESCEND &amp;amp;&amp;amp; Derive (xx - 1), MAYBE (1)) {&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
      // 1) 从子推导中获取一个新项 auxTerm 及其类型 aux&lt;br /&gt;
      auxTerm = Left (Left (Derive (xx)));&lt;br /&gt;
      aux      = Left (lastRight);&lt;br /&gt;
      xx       = Left (lastRight);  // 更新剩余比特流&lt;br /&gt;
     &lt;br /&gt;
      // 2) 若当前上下文与子推导上下文相等，则可以尝试 APPLY 或 Weaken&lt;br /&gt;
      if (context == lastRight) {&lt;br /&gt;
         // — APPLY：当类型符合 Π(aux, -) 时，对 term 执行函数应用&lt;br /&gt;
         if (Left (type) == 1 &amp;amp;&amp;amp; Left (lastRight) == aux &amp;amp;&amp;amp; MAYBE (1)) {&lt;br /&gt;
            type = Subst (4, auxTerm, 4, lastRight);&lt;br /&gt;
            term = Apply (term, auxTerm);&lt;br /&gt;
         }&lt;br /&gt;
         // — 弱化：若 auxType 是 STAR/BOX，可引入新假设&lt;br /&gt;
         else if ((aux / 2) &amp;amp;&amp;amp; MAYBE (1)) {&lt;br /&gt;
            context = Pair (auxTerm, context);&lt;br /&gt;
            term    = Lift (term);&lt;br /&gt;
            type    = Lift (type);&lt;br /&gt;
         }&lt;br /&gt;
      }&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
      // 3) Π 构造 或 λ 引入：当上下文非空时，可根据比特选择&lt;br /&gt;
      if (context &amp;amp;&amp;amp; MAYBE (1)) {&lt;br /&gt;
         // LHS：若 type 不支持 Π 构造，则强制做 λ 引入，并相应先对 type 做 Π 构造&lt;br /&gt;
         Tree isLambda = (~type &amp;amp; 2);&lt;br /&gt;
         if (MAYBE (isLambda)) {&lt;br /&gt;
            type = Pair (1, Pair (Left (context), type));  // Π(Left(context), type)&lt;br /&gt;
         }&lt;br /&gt;
         term = Pair (isLambda | 0, Pair (Left (context), term));&lt;br /&gt;
         context = lastRight;  // 弹出已用的上下文项&lt;br /&gt;
      }&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
      // 4) 变量引入：若 type 是 STAR/BOX，可引入 VAR(0)&lt;br /&gt;
      if ((type / 2) &amp;amp;&amp;amp; MAYBE (1)) {&lt;br /&gt;
         context = Pair (term, context);&lt;br /&gt;
         type    = Lift (term);&lt;br /&gt;
         term    = Pair (4, 0);  // VAR(0)&lt;br /&gt;
      }&lt;br /&gt;
   }&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
   // 将当前四元组打包，并加到 accumulate&lt;br /&gt;
   return accumulate = Pair (&lt;br /&gt;
      Pair (term, Pair (type, Pair (xx, context))),&lt;br /&gt;
      accumulate&lt;br /&gt;
   );&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
// —— 主函数 ——&lt;br /&gt;
// 对初值 99 连续调用五次 Derive，以充分“填充” accumulate。&lt;br /&gt;
TREE main ()&lt;br /&gt;
{&lt;br /&gt;
   return Derive (Derive (Derive (Derive (Derive (99)))));&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;{{默认排序:相关问题}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2758</id>
		<title>PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2758"/>
		<updated>2026-02-21T10:47:29Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Parented Predecessor Sequence(PPS)&#039;&#039;&#039;是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是[[项定位方式#2.标记父项位置|标记父项位置]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年8月，PPS2被发现[[无穷降链]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截止到2026年2月21日，目前PPS的已知良序极限为0,1,0,2,2,0,5,2,0,8,8,6,0,12,8,6,0,16,16,15,0,16,16,15,0,15,0,26,26,15,0,26,26,13,6,2,0,35,0,26,13,8,6,0,0,15,0,46,46,15,0,46,46,13,6,0,55,55,0,58,58,0,61,61...&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对PPS无穷降链的寻找可使用[https://github.com/hzyhhzy/AutoGuogaoMachine/tree/master 自动果糕机]进行辅助。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了[[PRRS]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.如果末项是0，则它是后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2.末项之前的部分保持不变&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i&amp;gt;x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项&lt;br /&gt;
=== 分析 ===&lt;br /&gt;
另见[[PPS分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 地府段 ===&lt;br /&gt;
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10 ====&lt;br /&gt;
[[文件:pcf 25-07-22.jpg|缩略图|2025年7月22日，来自PCF]]&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它们分别对应序数&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}\times 2}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
和&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\varepsilon_0}+1}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，&#039;&#039;&#039;四百行&#039;&#039;&#039;扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截至目前，我们仍未得知0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10对应哪个序数，不过根据Phyrion的猜测，它有可能&amp;lt;math&amp;gt;\ge \zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E8%AE%A8%E8%AE%BA:Test&amp;diff=2740</id>
		<title>讨论:Test</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E8%AE%A8%E8%AE%BA:Test&amp;diff=2740"/>
		<updated>2026-02-21T09:52:13Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​/* 果糕 */ 新章节&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;== 果糕 ==&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
果糕 [[用户:0100000000a7|0100000000a7]]（[[用户讨论:0100000000a7|留言]]） 2026年2月21日 (六) 17:52 (CST)&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=Test&amp;diff=2739</id>
		<title>Test</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=Test&amp;diff=2739"/>
		<updated>2026-02-21T09:51:47Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​撤销0100000000a7（讨论）的修订版本2737&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;此页面为测试页面。任何人都可以随意修改此页面以便测试。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 编写技巧 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 行内代码块：&amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;text&amp;quot;&amp;gt;&amp;lt;code&amp;gt;xxx&amp;lt;/code&amp;gt;&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;效果是这样：&amp;lt;code&amp;gt;xxx&amp;lt;/code&amp;gt;。&lt;br /&gt;
* 在列表里换行：使用 &amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;text&amp;quot;&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;效果是这样：&amp;lt;br&amp;gt;第一行；&amp;lt;br&amp;gt;第二行。&lt;br /&gt;
* 在列表里嵌套列表：无序列表使用&amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;text&amp;quot;&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;ul&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ul&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;效果是这样：&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;有序列表使用&amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;text&amp;quot;&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;ol&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ol&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;效果是这样：&lt;br /&gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&lt;br /&gt;
* 分界线：使用 &amp;lt;code&amp;gt;----&amp;lt;/code&amp;gt;。效果是这样：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这句话有7个字&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\varnothing,\emptyset&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math display=&amp;quot;block&amp;quot;&amp;gt;\begin{aligned}&lt;br /&gt;
f(x)\;&amp;amp;=(a+b+1)/2-x\\&lt;br /&gt;
&amp;amp;=(a+2x-1-a+f(2x-1-a)+1)/2-x\\&lt;br /&gt;
&amp;amp;=f(2x-1-a)/2\\&lt;br /&gt;
&amp;amp;=f(2x-1-(x-1+f(x-1)))/2\\&lt;br /&gt;
&amp;amp;=f(x-f(x-1))/2&lt;br /&gt;
\end{aligned}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
111&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
\( G(64)=\left. \begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\ \underbrace{\qquad \quad \vdots \qquad \quad} \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3\end{matrix} \right \} \text{64 layers} \)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\unicode{64}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)[0]=0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\text{@}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[k]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
\(\alpha\text{@}\beta\)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[[a]]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;nowiki&amp;gt;\&amp;lt;/nowiki&amp;gt;&amp;lt;span&amp;gt;(&amp;lt;/span&amp;gt;\alpha\text{@}\beta&amp;lt;nowiki&amp;gt;\&amp;lt;/nowiki&amp;gt;&amp;lt;span&amp;gt;)&amp;lt;/span&amp;gt; = \(\alpha\text{@}\beta\)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
 code&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
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| 示例 || 示例 || 示例&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| 示例 || 示例 || 示例&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
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|-&lt;br /&gt;
| 示例 || 示例 || 示例&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
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说说不可说】(1)&lt;br /&gt;
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　　  人们的对话中，「不可说」指的是「不可以说出来」的意思，但是在佛&lt;br /&gt;
经中，不可说的意思并不一定是这样，世尊所说的佛经更不是指这个意思。&lt;br /&gt;
如果它是指不可以说出来的话，那麽全部的佛经就是一部「大妄语百科」了。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
但是将「不可说」解释为「不可以说出来」的意思，并不是现代人的专&lt;br /&gt;
利，古人解经，也常把它作这样的解释，造成後人将佛经解释成玄密的经典，&lt;br /&gt;
一切的不合理之处都当作「不可说」来处理。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
世尊的确说过许多的不可说，如:《华严经》&lt;br /&gt;
「不可言说不可说，充满一切不可说，不可言说诸劫中，说不可说不可尽，&lt;br /&gt;
....&lt;br /&gt;
於一微细毛端处，有不可说诸普贤，....一毛端处所有刹，其数无量不可&lt;br /&gt;
　说..」在第四十五卷中，世尊一口气说了将近四百个不可说。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
《地藏菩萨本愿经》【忉利天宫神通品】「尔时，十方无量世界不可&lt;br /&gt;
　说不可说一切诸佛，及大菩萨摩诃萨，皆来集会，赞叹释迦牟尼佛．．」&lt;br /&gt;
这里用了两个不可说。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
《小般若经》【深功德品】「一切法不可说，须菩提，一切法空相不&lt;br /&gt;
可说．．」&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其实「不可说」的意义是「数量大到无法用语言形容」的意思，并不&lt;br /&gt;
是指所说的主题「不能说」，如果是不能说，那麽上面这些经典就是「废&lt;br /&gt;
话大全」了。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
世尊说法四十九年，探讨的主题遍及人类所有的疑问，从来没有一样&lt;br /&gt;
　是「不能说出来」的，不但他老人家自己说，更鼓励所有修行菩萨要为众　&lt;br /&gt;
生说呢。(参见《般若经》)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
那麽，「不可说」倒底有多大，会大到语言法形容呢？我们试著来找&lt;br /&gt;
找看。&lt;br /&gt;
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| style=&amp;quot;width: 20%;&amp;quot; | 张三 || style=&amp;quot;width: 80%; word-wrap: break-word;&amp;quot; | 这是一个非常长的简介文本，会自动换行以适应列宽。&lt;br /&gt;
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就当作是gggwiki的一个彩蛋吧（&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
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[https://2023largenumber.fandom.com/zh/wiki/%F0%9F%98%B0#articleComments/ 果糕]&lt;br /&gt;
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&amp;lt;div id=&amp;quot;guogao1&amp;quot;&amp;gt;将以下代码放入控制台并回车，有“小惊喜”：&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;small&amp;gt;&amp;lt;small&amp;gt;&amp;lt;nowiki&amp;gt;(()=&amp;gt;{document.getElementById(&amp;quot;guogao1&amp;quot;).appendChild((()=&amp;gt;{let a = document.createElement(&amp;quot;div&amp;quot;);a.innerHTML = `&amp;lt;div class=&amp;quot;fixed-btn&amp;quot;&amp;gt;&amp;lt;a onclick=&amp;quot;let b=document.createElement(&#039;div&#039;);b.innerHTML=\`&amp;lt;div id=&#039;guogao&#039; style=&#039;transition: transform .5s ease-out;position: absolute;top:45%;left:50%;z-index: 9999999;transform: scale(1);cursor: pointer;-webkit-user-select: none;-moz-user-select: none;-ms-user-select: none;user-select: none;&#039; onclick=&#039;this.remove()&#039;&amp;gt;${decodeURI(&#039;%F0%9F%98%B0&#039;)}&amp;lt;/div&amp;gt;\`;document.body.appendChild(b);setTimeout(() =&amp;gt; {document.getElementById(&#039;guogao&#039;).style.transform=&#039;scale(45)&#039;}, 50)&amp;quot; class=&amp;quot;new&amp;quot; title=&amp;quot;${decodeURI(&#039;%E5%B0%8F%E6%83%8A%E5%96%9C&#039;)}&amp;quot;&amp;gt;&amp;lt;span class=&amp;quot;btn-text blue&amp;quot;&amp;gt;${decodeURI(&#039;%E5%B0%8F%E6%83%8A%E5%96%9C&#039;)}&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;`;return a})());return (()=&amp;gt;{console.clear();return decodeURI(&#039;%E7%A5%9E%E7%A7%98%E6%8C%89%E9%92%AE%E5%87%BA%E7%8E%B0%EF%BC%81&#039;)})()})()&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
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		<author><name>0100000000a7</name></author>
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	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=Test&amp;diff=2737</id>
		<title>Test</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=Test&amp;diff=2737"/>
		<updated>2026-02-21T09:51:12Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;此页面为测试页面。任何人都可以随意修改此页面以便测试。&lt;br /&gt;
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* 在列表里换行：使用 &amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;text&amp;quot;&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;效果是这样：&amp;lt;br&amp;gt;第一行；&amp;lt;br&amp;gt;第二行。&lt;br /&gt;
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利，古人解经，也常把它作这样的解释，造成後人将佛经解释成玄密的经典，&lt;br /&gt;
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世尊的确说过许多的不可说，如:《华严经》&lt;br /&gt;
「不可言说不可说，充满一切不可说，不可言说诸劫中，说不可说不可尽，&lt;br /&gt;
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於一微细毛端处，有不可说诸普贤，....一毛端处所有刹，其数无量不可&lt;br /&gt;
　说..」在第四十五卷中，世尊一口气说了将近四百个不可说。&lt;br /&gt;
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《地藏菩萨本愿经》【忉利天宫神通品】「尔时，十方无量世界不可&lt;br /&gt;
　说不可说一切诸佛，及大菩萨摩诃萨，皆来集会，赞叹释迦牟尼佛．．」&lt;br /&gt;
这里用了两个不可说。&lt;br /&gt;
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《小般若经》【深功德品】「一切法不可说，须菩提，一切法空相不&lt;br /&gt;
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其实「不可说」的意义是「数量大到无法用语言形容」的意思，并不&lt;br /&gt;
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话大全」了。&lt;br /&gt;
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世尊说法四十九年，探讨的主题遍及人类所有的疑问，从来没有一样&lt;br /&gt;
　是「不能说出来」的，不但他老人家自己说，更鼓励所有修行菩萨要为众　&lt;br /&gt;
生说呢。(参见《般若经》)&lt;br /&gt;
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那麽，「不可说」倒底有多大，会大到语言法形容呢？我们试著来找&lt;br /&gt;
找看。&lt;br /&gt;
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| style=&amp;quot;width: 20%;&amp;quot; | 张三 || style=&amp;quot;width: 80%; word-wrap: break-word;&amp;quot; | 这是一个非常长的简介文本，会自动换行以适应列宽。&lt;br /&gt;
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| 这是一个非常长的简介文本，会自动换行以适应列宽。这是一个非常长的简介文本，会自动换行以适应列宽。这是一个非常长的简介文本，会自动换行以适应列宽。&lt;br /&gt;
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&amp;lt;blockquote&amp;gt;这里是一个孤立页面 我不知道它为什么还在这里&lt;br /&gt;
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就当作是gggwiki的一个彩蛋吧（&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
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[https://2023largenumber.fandom.com/zh/wiki/%F0%9F%98%B0#articleComments/ 果糕]&lt;br /&gt;
果糕糕糕！&lt;br /&gt;
果糕糕糕！果糕糕糕！&lt;br /&gt;
果糕糕糕！果糕糕糕！&lt;br /&gt;
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&amp;lt;div id=&amp;quot;guogao1&amp;quot;&amp;gt;将以下代码放入控制台并回车，有“小惊喜”：&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;small&amp;gt;&amp;lt;small&amp;gt;&amp;lt;nowiki&amp;gt;(()=&amp;gt;{document.getElementById(&amp;quot;guogao1&amp;quot;).appendChild((()=&amp;gt;{let a = document.createElement(&amp;quot;div&amp;quot;);a.innerHTML = `&amp;lt;div class=&amp;quot;fixed-btn&amp;quot;&amp;gt;&amp;lt;a onclick=&amp;quot;let b=document.createElement(&#039;div&#039;);b.innerHTML=\`&amp;lt;div id=&#039;guogao&#039; style=&#039;transition: transform .5s ease-out;position: absolute;top:45%;left:50%;z-index: 9999999;transform: scale(1);cursor: pointer;-webkit-user-select: none;-moz-user-select: none;-ms-user-select: none;user-select: none;&#039; onclick=&#039;this.remove()&#039;&amp;gt;${decodeURI(&#039;%F0%9F%98%B0&#039;)}&amp;lt;/div&amp;gt;\`;document.body.appendChild(b);setTimeout(() =&amp;gt; {document.getElementById(&#039;guogao&#039;).style.transform=&#039;scale(45)&#039;}, 50)&amp;quot; class=&amp;quot;new&amp;quot; title=&amp;quot;${decodeURI(&#039;%E5%B0%8F%E6%83%8A%E5%96%9C&#039;)}&amp;quot;&amp;gt;&amp;lt;span class=&amp;quot;btn-text blue&amp;quot;&amp;gt;${decodeURI(&#039;%E5%B0%8F%E6%83%8A%E5%96%9C&#039;)}&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;`;return a})());return (()=&amp;gt;{console.clear();return decodeURI(&#039;%E7%A5%9E%E7%A7%98%E6%8C%89%E9%92%AE%E5%87%BA%E7%8E%B0%EF%BC%81&#039;)})()})()&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;/nowiki&amp;gt;&amp;lt;/small&amp;gt;&amp;lt;/small&amp;gt;&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=Test&amp;diff=2735</id>
		<title>Test</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=Test&amp;diff=2735"/>
		<updated>2026-02-21T09:48:36Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;此页面为测试页面。任何人都可以随意修改此页面以便测试。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 编写技巧 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 行内代码块：&amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;text&amp;quot;&amp;gt;&amp;lt;code&amp;gt;xxx&amp;lt;/code&amp;gt;&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;效果是这样：&amp;lt;code&amp;gt;xxx&amp;lt;/code&amp;gt;。&lt;br /&gt;
* 在列表里换行：使用 &amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;text&amp;quot;&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;效果是这样：&amp;lt;br&amp;gt;第一行；&amp;lt;br&amp;gt;第二行。&lt;br /&gt;
* 在列表里嵌套列表：无序列表使用&amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;text&amp;quot;&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;ul&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ul&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;效果是这样：&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;有序列表使用&amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;text&amp;quot;&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;ol&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ol&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;效果是这样：&lt;br /&gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&lt;br /&gt;
* 分界线：使用 &amp;lt;code&amp;gt;----&amp;lt;/code&amp;gt;。效果是这样：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
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这句话有7个字&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\varnothing,\emptyset&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
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&amp;lt;math display=&amp;quot;block&amp;quot;&amp;gt;\begin{aligned}&lt;br /&gt;
f(x)\;&amp;amp;=(a+b+1)/2-x\\&lt;br /&gt;
&amp;amp;=(a+2x-1-a+f(2x-1-a)+1)/2-x\\&lt;br /&gt;
&amp;amp;=f(2x-1-a)/2\\&lt;br /&gt;
&amp;amp;=f(2x-1-(x-1+f(x-1)))/2\\&lt;br /&gt;
&amp;amp;=f(x-f(x-1))/2&lt;br /&gt;
\end{aligned}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
111&lt;br /&gt;
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\( G(64)=\left. \begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\ \underbrace{\qquad \quad \vdots \qquad \quad} \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3\end{matrix} \right \} \text{64 layers} \)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\unicode{64}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)[0]=0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\text{@}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[k]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
\(\alpha\text{@}\beta\)&lt;br /&gt;
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[[[a]]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;nowiki&amp;gt;\&amp;lt;/nowiki&amp;gt;&amp;lt;span&amp;gt;(&amp;lt;/span&amp;gt;\alpha\text{@}\beta&amp;lt;nowiki&amp;gt;\&amp;lt;/nowiki&amp;gt;&amp;lt;span&amp;gt;)&amp;lt;/span&amp;gt; = \(\alpha\text{@}\beta\)&lt;br /&gt;
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&amp;lt;span style=&#039;background:linear-gradient(to right,#00ff00,#0000ff);-webkit-background-clip:text;-webkit-text-fill-color:transparent;&#039;&amp;gt;我是美丽的span&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;a href=&#039;https://baidu.com&#039;&amp;gt;危险的代码是不被允许的&amp;lt;/a&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;span onclick=&#039;this.innerText=&amp;quot;onclick是无效的！&amp;quot;&#039;&amp;gt;click me!&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
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\(\alpha @\beta\)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
我是猫娘。喵喵喵喵&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;单行引言&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;span style=&#039;background-color:red&#039;&amp;gt;bgcisred&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[高德纳箭头|↑]]&lt;br /&gt;
&amp;lt;iframe &lt;br /&gt;
  src=&amp;quot;https://expander.googology.top/index.html&amp;quot; &lt;br /&gt;
  width=&amp;quot;100%&amp;quot; &lt;br /&gt;
  height=&amp;quot;500px&amp;quot;&lt;br /&gt;
  frameborder=&amp;quot;0&amp;quot;&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
=== 这是一级标题 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 这是二级标题 ====&lt;br /&gt;
这是公式 \(\alpha\times\beta\)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;撒反对&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
说说不可说】(1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
　　  人们的对话中，「不可说」指的是「不可以说出来」的意思，但是在佛&lt;br /&gt;
经中，不可说的意思并不一定是这样，世尊所说的佛经更不是指这个意思。&lt;br /&gt;
如果它是指不可以说出来的话，那麽全部的佛经就是一部「大妄语百科」了。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
但是将「不可说」解释为「不可以说出来」的意思，并不是现代人的专&lt;br /&gt;
利，古人解经，也常把它作这样的解释，造成後人将佛经解释成玄密的经典，&lt;br /&gt;
一切的不合理之处都当作「不可说」来处理。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
世尊的确说过许多的不可说，如:《华严经》&lt;br /&gt;
「不可言说不可说，充满一切不可说，不可言说诸劫中，说不可说不可尽，&lt;br /&gt;
....&lt;br /&gt;
於一微细毛端处，有不可说诸普贤，....一毛端处所有刹，其数无量不可&lt;br /&gt;
　说..」在第四十五卷中，世尊一口气说了将近四百个不可说。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
《地藏菩萨本愿经》【忉利天宫神通品】「尔时，十方无量世界不可&lt;br /&gt;
　说不可说一切诸佛，及大菩萨摩诃萨，皆来集会，赞叹释迦牟尼佛．．」&lt;br /&gt;
这里用了两个不可说。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
《小般若经》【深功德品】「一切法不可说，须菩提，一切法空相不&lt;br /&gt;
可说．．」&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其实「不可说」的意义是「数量大到无法用语言形容」的意思，并不&lt;br /&gt;
是指所说的主题「不能说」，如果是不能说，那麽上面这些经典就是「废&lt;br /&gt;
话大全」了。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
世尊说法四十九年，探讨的主题遍及人类所有的疑问，从来没有一样&lt;br /&gt;
　是「不能说出来」的，不但他老人家自己说，更鼓励所有修行菩萨要为众　&lt;br /&gt;
生说呢。(参见《般若经》)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
那麽，「不可说」倒底有多大，会大到语言法形容呢？我们试著来找&lt;br /&gt;
找看。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
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[https://2023largenumber.fandom.com/zh/wiki/%F0%9F%98%B0#articleComments/ 果糕]&lt;br /&gt;
果糕糕糕！&lt;br /&gt;
果糕糕糕！果糕糕糕！&lt;br /&gt;
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果糕糕糕！&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;div id=&amp;quot;guogao1&amp;quot;&amp;gt;将以下代码放入控制台并回车，有“小惊喜”：&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;small&amp;gt;&amp;lt;small&amp;gt;&amp;lt;nowiki&amp;gt;(()=&amp;gt;{document.getElementById(&amp;quot;guogao1&amp;quot;).appendChild((()=&amp;gt;{let a = document.createElement(&amp;quot;div&amp;quot;);a.innerHTML = `&amp;lt;div class=&amp;quot;fixed-btn&amp;quot;&amp;gt;&amp;lt;a onclick=&amp;quot;let b=document.createElement(&#039;div&#039;);b.innerHTML=\`&amp;lt;div id=&#039;guogao&#039; style=&#039;transition: transform .5s ease-out;position: absolute;top:45%;left:50%;z-index: 9999999;transform: scale(1);cursor: pointer;-webkit-user-select: none;-moz-user-select: none;-ms-user-select: none;user-select: none;&#039; onclick=&#039;this.remove()&#039;&amp;gt;${decodeURI(&#039;%F0%9F%98%B0&#039;)}&amp;lt;/div&amp;gt;\`;document.body.appendChild(b);setTimeout(() =&amp;gt; {document.getElementById(&#039;guogao&#039;).style.transform=&#039;scale(45)&#039;}, 50)&amp;quot; class=&amp;quot;new&amp;quot; title=&amp;quot;${decodeURI(&#039;%E5%B0%8F%E6%83%8A%E5%96%9C&#039;)}&amp;quot;&amp;gt;&amp;lt;span class=&amp;quot;btn-text blue&amp;quot;&amp;gt;${decodeURI(&#039;%E5%B0%8F%E6%83%8A%E5%96%9C&#039;)}&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;`;return a})());return (()=&amp;gt;{console.clear();return decodeURI(&#039;%E7%A5%9E%E7%A7%98%E6%8C%89%E9%92%AE%E5%87%BA%E7%8E%B0%EF%BC%81&#039;)})()})()&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;/nowiki&amp;gt;&amp;lt;/small&amp;gt;&amp;lt;/small&amp;gt;&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=Test&amp;diff=2734</id>
		<title>Test</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=Test&amp;diff=2734"/>
		<updated>2026-02-21T09:48:02Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;此页面为测试页面。任何人都可以随意修改此页面以便测试。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 编写技巧 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 行内代码块：&amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;text&amp;quot;&amp;gt;&amp;lt;code&amp;gt;xxx&amp;lt;/code&amp;gt;&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;效果是这样：&amp;lt;code&amp;gt;xxx&amp;lt;/code&amp;gt;。&lt;br /&gt;
* 在列表里换行：使用 &amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;text&amp;quot;&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;效果是这样：&amp;lt;br&amp;gt;第一行；&amp;lt;br&amp;gt;第二行。&lt;br /&gt;
* 在列表里嵌套列表：无序列表使用&amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;text&amp;quot;&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;ul&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ul&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;效果是这样：&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;有序列表使用&amp;lt;syntaxhighlight lang=&amp;quot;text&amp;quot;&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;ol&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt; &amp;lt;/ol&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/syntaxhighlight&amp;gt;效果是这样：&lt;br /&gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;123&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;456&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&lt;br /&gt;
* 分界线：使用 &amp;lt;code&amp;gt;----&amp;lt;/code&amp;gt;。效果是这样：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这句话有7个字&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\varnothing,\emptyset&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math display=&amp;quot;block&amp;quot;&amp;gt;\begin{aligned}&lt;br /&gt;
f(x)\,&amp;amp;=(a+b+1)/2-x\\&lt;br /&gt;
&amp;amp;=(a+2x-1-a+f(2x-1-a)+1)/2-x\\&lt;br /&gt;
&amp;amp;=f(2x-1-a)/2\\&lt;br /&gt;
&amp;amp;=f(2x-1-(x-1+f(x-1)))/2\\&lt;br /&gt;
&amp;amp;=f(x-f(x-1))/2&lt;br /&gt;
\end{aligned}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
111&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
\( G(64)=\left. \begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\ \underbrace{\qquad \quad \vdots \qquad \quad} \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3\end{matrix} \right \} \text{64 layers} \)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\unicode{64}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\varphi(\#,(\alpha+1)\text{@}(\beta+1),0\text{@}0)[0]=0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\text{@}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[k]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
\(\alpha\text{@}\beta\)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[[a]]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;nowiki&amp;gt;\&amp;lt;/nowiki&amp;gt;&amp;lt;span&amp;gt;(&amp;lt;/span&amp;gt;\alpha\text{@}\beta&amp;lt;nowiki&amp;gt;\&amp;lt;/nowiki&amp;gt;&amp;lt;span&amp;gt;)&amp;lt;/span&amp;gt; = \(\alpha\text{@}\beta\)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
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| 示例 || 示例 || 示例&lt;br /&gt;
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&amp;lt;pre&amp;gt;我是pre&amp;lt;/pre&amp;gt;&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
&amp;lt;span style=&#039;background:linear-gradient(to right,#00ff00,#0000ff);-webkit-background-clip:text;-webkit-text-fill-color:transparent;&#039;&amp;gt;我是美丽的span&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;a href=&#039;https://baidu.com&#039;&amp;gt;危险的代码是不被允许的&amp;lt;/a&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;span onclick=&#039;this.innerText=&amp;quot;onclick是无效的！&amp;quot;&#039;&amp;gt;click me!&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
666&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
\(\alpha @\beta\)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
我是猫娘。喵喵喵喵&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;单行引言&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;span style=&#039;background-color:red&#039;&amp;gt;bgcisred&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[高德纳箭头|↑]]&lt;br /&gt;
&amp;lt;iframe &lt;br /&gt;
  src=&amp;quot;https://expander.googology.top/index.html&amp;quot; &lt;br /&gt;
  width=&amp;quot;100%&amp;quot; &lt;br /&gt;
  height=&amp;quot;500px&amp;quot;&lt;br /&gt;
  frameborder=&amp;quot;0&amp;quot;&lt;br /&gt;
&amp;gt;&amp;lt;/iframe&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 这是一级标题 ===&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 这是二级标题 ====&lt;br /&gt;
这是公式 \(\alpha\times\beta\)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;撒反对&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
说说不可说】(1)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
--------------------------------------------------------------------&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
　　  人们的对话中，「不可说」指的是「不可以说出来」的意思，但是在佛&lt;br /&gt;
经中，不可说的意思并不一定是这样，世尊所说的佛经更不是指这个意思。&lt;br /&gt;
如果它是指不可以说出来的话，那麽全部的佛经就是一部「大妄语百科」了。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
但是将「不可说」解释为「不可以说出来」的意思，并不是现代人的专&lt;br /&gt;
利，古人解经，也常把它作这样的解释，造成後人将佛经解释成玄密的经典，&lt;br /&gt;
一切的不合理之处都当作「不可说」来处理。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
世尊的确说过许多的不可说，如:《华严经》&lt;br /&gt;
「不可言说不可说，充满一切不可说，不可言说诸劫中，说不可说不可尽，&lt;br /&gt;
....&lt;br /&gt;
於一微细毛端处，有不可说诸普贤，....一毛端处所有刹，其数无量不可&lt;br /&gt;
　说..」在第四十五卷中，世尊一口气说了将近四百个不可说。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
《地藏菩萨本愿经》【忉利天宫神通品】「尔时，十方无量世界不可&lt;br /&gt;
　说不可说一切诸佛，及大菩萨摩诃萨，皆来集会，赞叹释迦牟尼佛．．」&lt;br /&gt;
这里用了两个不可说。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
《小般若经》【深功德品】「一切法不可说，须菩提，一切法空相不&lt;br /&gt;
可说．．」&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其实「不可说」的意义是「数量大到无法用语言形容」的意思，并不&lt;br /&gt;
是指所说的主题「不能说」，如果是不能说，那麽上面这些经典就是「废&lt;br /&gt;
话大全」了。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
世尊说法四十九年，探讨的主题遍及人类所有的疑问，从来没有一样&lt;br /&gt;
　是「不能说出来」的，不但他老人家自己说，更鼓励所有修行菩萨要为众　&lt;br /&gt;
生说呢。(参见《般若经》)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
那麽，「不可说」倒底有多大，会大到语言法形容呢？我们试著来找&lt;br /&gt;
找看。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot; border=&amp;quot;0&amp;quot; cellpadding=&amp;quot;1&amp;quot; cellspacing=&amp;quot;1&amp;quot;&lt;br /&gt;
! scope=&amp;quot;col&amp;quot; |&lt;br /&gt;
! scope=&amp;quot;col&amp;quot; |A&lt;br /&gt;
! scope=&amp;quot;col&amp;quot; |B&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
|0&lt;br /&gt;
|1RB&lt;br /&gt;
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&amp;lt;br&amp;gt;114514&lt;br /&gt;
|1LA&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
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|1LB&lt;br /&gt;
|1RB&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
111&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot;&lt;br /&gt;
! 用户名&lt;br /&gt;
! 简介&lt;br /&gt;
|-&lt;br /&gt;
| style=&amp;quot;width: 20%;&amp;quot; | 张三 || style=&amp;quot;width: 80%; word-wrap: break-word;&amp;quot; | 这是一个非常长的简介文本，会自动换行以适应列宽。&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
表格？&lt;br /&gt;
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{| class=&amp;quot;wikitable&amp;quot; style=&amp;quot;width: 300px; overflow: hidden; text-overflow: ellipsis&amp;quot;&lt;br /&gt;
! 用户名&lt;br /&gt;
! 简介&lt;br /&gt;
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| 这是一个非常长的简介文本，会自动换行以适应列宽。这是一个非常长的简介文本，会自动换行以适应列宽。这是一个非常长的简介文本，会自动换行以适应列宽。&lt;br /&gt;
|}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;这里是一个孤立页面 我不知道它为什么还在这里&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
就当作是gggwiki的一个彩蛋吧（&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
[https://2023largenumber.fandom.com/zh/wiki/%F0%9F%98%B0#articleComments/ 果糕]&lt;br /&gt;
果糕糕糕！&lt;br /&gt;
果糕糕糕！果糕糕糕！&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
&amp;lt;/nowiki&amp;gt;&amp;lt;/small&amp;gt;&amp;lt;/small&amp;gt;&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%BA%8F%E6%95%B0%E8%B6%85%E8%BF%90%E7%AE%97&amp;diff=2733</id>
		<title>序数超运算</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%BA%8F%E6%95%B0%E8%B6%85%E8%BF%90%E7%AE%97&amp;diff=2733"/>
		<updated>2026-02-21T09:43:06Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;序数超运算是对序数使用[[超运算序列|超运算]]的尝试。它虽然是最直观、新人最容易想到的模式，但已经被长期的[[googology]]实践所证明是低效、难以扩展的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 原定义 ==&lt;br /&gt;
首先，我们仿照[[高德纳箭头]]在自然数上的定义和[[序数#序数的运算|序数运算]]的定义，给出序数使用高德纳箭头的定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\uparrow^1\beta=\alpha^{\beta}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\uparrow^c1=\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\uparrow^{c+1}(\beta+1)=\alpha\uparrow^c(\alpha\uparrow^{c+1}\beta)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\uparrow^c\lambda=\sup\{\alpha\uparrow^c\beta|\beta&amp;lt;\lambda\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中&amp;lt;math&amp;gt;\alpha,\beta&amp;lt;/math&amp;gt;是任意序数，c是自然数，&amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt;是非0极限序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这样一来，就有&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^2(\omega+1)=\omega^{\omega\uparrow^2\omega}=\sup\{\omega^{\omega\uparrow^2n}|n&amp;lt;\omega\}=\sup\{\omega\uparrow^2n|n&amp;lt;\omega\}=\omega\uparrow^2\omega&amp;lt;/math&amp;gt;.进一步，对任意&amp;lt;math&amp;gt;\beta\geq\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，都有&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^2\beta=\omega\uparrow^2\omega&amp;lt;/math&amp;gt;.再进一步，对任意的&amp;lt;math&amp;gt;c\geq2,\beta\geq\omega&amp;lt;/math&amp;gt;,都有&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^c\beta=\omega\uparrow^2\omega&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这显然不是我们所期待的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 左结合法 ==&lt;br /&gt;
第一种试图解决问题的方案是左结合法。它借鉴了[[下箭号表示法|下箭头表示法]]，给出序数使用下箭头的定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\downarrow^1\beta=\alpha^{\beta}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\downarrow^c1=\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\downarrow^{c+1}(\beta+1)=(\alpha\downarrow^{c+1}\beta)\downarrow\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\downarrow^c\lambda=\sup\{\alpha\downarrow^c\beta|\beta&amp;lt;\lambda\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中&amp;lt;math&amp;gt;\alpha,\beta&amp;lt;/math&amp;gt;是任意序数，c是自然数，&amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt;是非0极限序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
于是有：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^22=\omega^\omega &lt;br /&gt;
&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^23=\omega^{\omega^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^2\omega=\omega^{\omega^\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(\omega\downarrow^2\omega)\downarrow^22=\omega^{\omega^{\omega^\omega}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^33=\omega^{\omega^{\omega^{\omega^\omega}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^34=\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^\omega}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^3\omega=\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(\omega\downarrow^3\omega)\downarrow^22=\varepsilon_0^{\varepsilon_0}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(\omega\downarrow^3\omega)\downarrow^2\omega=\varepsilon_0^{\varepsilon_0^\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(\omega\downarrow^3\omega)\downarrow^32=\varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(\omega\downarrow^3\omega)\downarrow^33=\varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^43=\varepsilon_1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^44=\varepsilon_2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^4\omega=\varepsilon_\omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(\omega\downarrow^4\omega)\downarrow^3\omega=\varepsilon_{\omega+1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(\omega\downarrow^4\omega)\downarrow^42=\varepsilon_{\varepsilon_\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(\omega\downarrow^4\omega)\downarrow^43=\varepsilon_{\varepsilon_\omega2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^53=\varepsilon_{\varepsilon_\omega\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^54=\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_\omega\omega}\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^5\omega=\zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^6\omega=\zeta_\omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^7\omega=\varphi(3,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^{1+2n}\omega=\varphi(n,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
把下箭头用到序数上，其极限为&amp;lt;math&amp;gt;\varphi(\omega,0)&amp;lt;/math&amp;gt;，也符合箭头运算的强度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
但是，左结合的下箭头行为和高德纳箭头差异还是不小，而且两个箭头对应一个&amp;lt;math&amp;gt;\varphi(n,0)&amp;lt;/math&amp;gt;还是不太符合我们的预期。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 攀爬法 ==&lt;br /&gt;
第二种试图解决问题的方案是攀爬法。攀爬法提供了一种更强的推广。我们知道，&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_1&amp;lt;/math&amp;gt;的基本列是&amp;lt;math&amp;gt;\{\varepsilon_0+1,\omega^{\varepsilon_0+1},\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}},\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}},\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;，我们可以将其表示为&amp;lt;math&amp;gt;\{\omega^{\omega^{\omega^{\cdots}}}+1,\omega^{\omega^{\omega^{\cdots}}+1},\omega^{\omega^{\omega^{\cdots}+1}},\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;.在这里我们把&amp;lt;math&amp;gt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt;的指数塔固定在&amp;lt;math&amp;gt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。在这样的基本列中，+1像在指数塔攀爬一样，攀爬法也因此而得名。在基本列的尽头，+1攀爬到了指数塔的顶端，与原来在顶端的1相加变为2。因此我们得到&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_1=\underbrace{\omega^{\omega^{\cdots^{2}}}}_{\omega+1 \text{ layers}}&amp;lt;/math&amp;gt;.进一步的，按照攀爬法我们有&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega}=\underbrace{\omega^{\omega^{\cdots^{\omega}}}}_{\omega+1 \text{ layers}}&amp;lt;/math&amp;gt;,我们将其记为&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega+1)=\varepsilon_{\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
进一步有：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega+2)=\varepsilon_{\omega^{\omega}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega\times2)=\varepsilon_{\varepsilon_0}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega^2)=\zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega^3)=\eta_0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega^{\omega})=\varphi(\omega,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow\omega\uparrow\uparrow\omega=\varphi(\varphi(1,0),0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^34=\varphi(\varphi(\varphi(1,0),0),0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^3\omega=\varphi(1,0,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^3(\omega+1)=\varphi(1,0,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^3(\omega^2)=\varphi(1,1,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^3\omega\uparrow^3\omega=\varphi(1,\varphi(1,0,0),0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^44=\varphi(1,\varphi(1,\varphi(1,0,0),0),0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^4\omega=\varphi(2,0,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^5\omega=\varphi(3,0,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^{\omega}\omega=\varphi(\omega,0,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
由此我们得到了攀爬法序数超运算的极限是&amp;lt;math&amp;gt;\varphi(\omega,0,0)&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
但是现在已经证明了，攀爬法是非良序的。因此这一做法得到的推广是不可靠的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== +1法 ==&lt;br /&gt;
第三中试图解决问题的方案是+1法。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它基于一种特别朴素的想法，即：如果&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^c\alpha=\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;,则修改其值为&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^c(\alpha+1)&amp;lt;/math&amp;gt;.显然，这一改变真正起到效果的是指数上的变化。关于+1法序数超运算，我们有：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
例如：ω^^(ω+1)如果展开为ω^ω^^ω就会遇到不动点，因此触发上述的+1规则。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega+1)=\omega^{\omega\uparrow\uparrow\omega+1}=\omega^{\varepsilon_0+1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
然后，以此类推：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega+2)=\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega2)=\varepsilon_1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega3)=\varepsilon_2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega^2)=\varepsilon_{\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^33=\omega\uparrow\uparrow\omega\uparrow\uparrow\omega=\varepsilon_{\varepsilon_0}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^3\omega=\zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
到ζ_0后，+1法的展开方式将会比较复杂，并产生一些奇特的基础序列。继续分析：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^3(\omega+1)=\omega\uparrow\uparrow(\omega\uparrow^3\omega+1)&lt;br /&gt;
=\omega\uparrow(\omega\uparrow\uparrow(\omega\uparrow^3\omega)+1)&lt;br /&gt;
=\omega\uparrow(\omega\uparrow^3\omega+1)&lt;br /&gt;
=\omega^{\zeta_0+1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega\uparrow^3\omega+\omega)=\varepsilon_{\zeta_0+1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega\uparrow^3\omega*2)=\varepsilon_{\zeta_02}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^3(\omega+2)=\omega\uparrow\uparrow(\omega\uparrow^3(\omega+1))=\varepsilon_{\omega^{\zeta_0+1}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^3(\omega+3)=\varepsilon_{\varepsilon_{\omega^{\zeta_0+1}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^3(\omega2)=\zeta_1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^43=\zeta_{\zeta_0}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^4\omega=\eta_0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^4(\omega+1)=\omega\uparrow^3(\omega\uparrow^4\omega+1)&lt;br /&gt;
=\omega\uparrow\omega\uparrow\uparrow\omega\uparrow^3(\omega\uparrow^4\omega+1)&lt;br /&gt;
=\omega\uparrow(\omega\uparrow^4\omega+1)&lt;br /&gt;
=\omega^{\eta_0+1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^4(\omega+2)=\omega\uparrow^3(\omega\uparrow^4(\omega+1))=\zeta_{\omega^{\eta_0+1}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^4(\omega2)=\eta_1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^5\omega=\varphi(4,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^{\omega}\omega=\varphi(\omega,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
于是我们得到其极限为&amp;lt;math&amp;gt;\varphi(\omega,0)&amp;lt;/math&amp;gt;。它的优点是它和&amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt;函数行为完全一致。但缺点也是这个。这导致了&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega+1)=(\omega\uparrow\uparrow\omega)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;这种奇异的结果，某种意义上丢失了超运算自己的特性。因此可以说，+1法序数超运算被&amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt;函数上位替代了。+1法序数超运算还可以继续拓展，在某些版本中，其增长率与类似的Veblen 函数及Feferman序数折叠函数类似，例如：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\omega\}(\omega2)=\varphi(\omega,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\omega+1\}\omega=\varphi(\omega+1,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\omega\uparrow\uparrow\omega\}\omega=\varphi(\varepsilon_0,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\Omega\}3=\omega\{\omega\{\omega\}\omega\}\omega=\varphi(\varphi(\omega,0),0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\Omega\}\omega=\Gamma_0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\Omega+1\}\omega=\varphi(1,1,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\Omega2\}\omega=\varphi(2,0,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\Omega^2\}\omega=\varphi(1,0,0,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\Omega^\omega\}\omega=\psi(\Omega^{\Omega^\omega})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\Omega^\Omega\}\omega=\psi(\Omega^{\Omega^\Omega})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\Omega\uparrow\uparrow\omega\}\omega=\psi(\Omega_2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
但如此的拓展达到同样序数的难度要明显大于一般的[[序数坍缩函数]]。有些版本引入了更为强大的结构，但已经失去了超运算的特性，其强度主要为引入的更高级序数结构，建议使用以更高级核心的序数记号替代之。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 总结 ==&lt;br /&gt;
到目前为止，序数超运算不是不良定义，就是不理想的。我们不建议在任何地方使用高于&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt;的序数超运算和更高级别的运算。如果要使用，必须仅仅将它作为形式上的符号，并且明确地说明其具体含义。事实上，我们完全可以使用[[Veblen 函数]]这样的更加强大且清晰的[[序数记号]]来替代它。&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;br /&gt;
[[分类:入门]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%BA%8F%E6%95%B0%E8%B6%85%E8%BF%90%E7%AE%97&amp;diff=2732</id>
		<title>序数超运算</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%BA%8F%E6%95%B0%E8%B6%85%E8%BF%90%E7%AE%97&amp;diff=2732"/>
		<updated>2026-02-21T09:42:43Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;序数超运算是对序数使用[[超运算序列|超运算]]的尝试。它虽然是最直观、新人最容易想到的模式，但已经被长期的[[googology]]实践所证明是低效、难以扩展的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 原定义 ==&lt;br /&gt;
首先，我们仿照[[高德纳箭头]]在自然数上的定义和[[序数#序数的运算|序数运算]]的定义，给出序数使用高德纳箭头的定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\uparrow^1\beta=\alpha^{\beta}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\uparrow^c1=\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\uparrow^{c+1}(\beta+1)=\alpha\uparrow^c(\alpha\uparrow^{c+1}\beta)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\uparrow^c\lambda=\sup\{\alpha\uparrow^c\beta|\beta&amp;lt;\lambda\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中&amp;lt;math&amp;gt;\alpha,\beta&amp;lt;/math&amp;gt;是任意序数，c是自然数，&amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt;是非0极限序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这样一来，就有&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^2(\omega+1)=\omega^{\omega\uparrow^2\omega}=\sup\{\omega^{\omega\uparrow^2n}|n&amp;lt;\omega\}=\sup\{\omega\uparrow^2n|n&amp;lt;\omega\}=\omega\uparrow^2\omega&amp;lt;/math&amp;gt;.进一步，对任意&amp;lt;math&amp;gt;\beta\geq\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，都有&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^2\beta=\omega\uparrow^2\omega&amp;lt;/math&amp;gt;.再进一步，对任意的&amp;lt;math&amp;gt;c\geq2,\beta\geq\omega&amp;lt;/math&amp;gt;,都有&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^c\beta=\omega\uparrow^2\omega&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这显然不是我们所期待的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 左结合法 ==&lt;br /&gt;
第一种试图解决问题的方案是左结合法。它借鉴了[[下箭号表示法|下箭头表示法]]，给出序数使用下箭头的定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\downarrow^1\beta=\alpha^{\beta}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\downarrow^c1=\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\downarrow^{c+1}(\beta+1)=(\alpha\downarrow^{c+1}\beta)\downarrow\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\downarrow^c\lambda=sup\{\alpha\downarrow^c\beta|\beta&amp;lt;\lambda\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中&amp;lt;math&amp;gt;\alpha,\beta&amp;lt;/math&amp;gt;是任意序数，c是自然数，&amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt;是非0极限序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
于是有：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^22=\omega^\omega &lt;br /&gt;
&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^23=\omega^{\omega^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^2\omega=\omega^{\omega^\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(\omega\downarrow^2\omega)\downarrow^22=\omega^{\omega^{\omega^\omega}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^33=\omega^{\omega^{\omega^{\omega^\omega}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^34=\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^\omega}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^3\omega=\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(\omega\downarrow^3\omega)\downarrow^22=\varepsilon_0^{\varepsilon_0}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(\omega\downarrow^3\omega)\downarrow^2\omega=\varepsilon_0^{\varepsilon_0^\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(\omega\downarrow^3\omega)\downarrow^32=\varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(\omega\downarrow^3\omega)\downarrow^33=\varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^43=\varepsilon_1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^44=\varepsilon_2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^4\omega=\varepsilon_\omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(\omega\downarrow^4\omega)\downarrow^3\omega=\varepsilon_{\omega+1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(\omega\downarrow^4\omega)\downarrow^42=\varepsilon_{\varepsilon_\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(\omega\downarrow^4\omega)\downarrow^43=\varepsilon_{\varepsilon_\omega2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^53=\varepsilon_{\varepsilon_\omega\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^54=\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_\omega\omega}\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^5\omega=\zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^6\omega=\zeta_\omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^7\omega=\varphi(3,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^{1+2n}\omega=\varphi(n,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
把下箭头用到序数上，其极限为&amp;lt;math&amp;gt;\varphi(\omega,0)&amp;lt;/math&amp;gt;，也符合箭头运算的强度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
但是，左结合的下箭头行为和高德纳箭头差异还是不小，而且两个箭头对应一个&amp;lt;math&amp;gt;\varphi(n,0)&amp;lt;/math&amp;gt;还是不太符合我们的预期。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 攀爬法 ==&lt;br /&gt;
第二种试图解决问题的方案是攀爬法。攀爬法提供了一种更强的推广。我们知道，&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_1&amp;lt;/math&amp;gt;的基本列是&amp;lt;math&amp;gt;\{\varepsilon_0+1,\omega^{\varepsilon_0+1},\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}},\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}},\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;，我们可以将其表示为&amp;lt;math&amp;gt;\{\omega^{\omega^{\omega^{\cdots}}}+1,\omega^{\omega^{\omega^{\cdots}}+1},\omega^{\omega^{\omega^{\cdots}+1}},\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;.在这里我们把&amp;lt;math&amp;gt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt;的指数塔固定在&amp;lt;math&amp;gt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。在这样的基本列中，+1像在指数塔攀爬一样，攀爬法也因此而得名。在基本列的尽头，+1攀爬到了指数塔的顶端，与原来在顶端的1相加变为2。因此我们得到&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_1=\underbrace{\omega^{\omega^{\cdots^{2}}}}_{\omega+1 \text{ layers}}&amp;lt;/math&amp;gt;.进一步的，按照攀爬法我们有&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega}=\underbrace{\omega^{\omega^{\cdots^{\omega}}}}_{\omega+1 \text{ layers}}&amp;lt;/math&amp;gt;,我们将其记为&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega+1)=\varepsilon_{\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
进一步有：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega+2)=\varepsilon_{\omega^{\omega}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega\times2)=\varepsilon_{\varepsilon_0}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega^2)=\zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega^3)=\eta_0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega^{\omega})=\varphi(\omega,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow\omega\uparrow\uparrow\omega=\varphi(\varphi(1,0),0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^34=\varphi(\varphi(\varphi(1,0),0),0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^3\omega=\varphi(1,0,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^3(\omega+1)=\varphi(1,0,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^3(\omega^2)=\varphi(1,1,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^3\omega\uparrow^3\omega=\varphi(1,\varphi(1,0,0),0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^44=\varphi(1,\varphi(1,\varphi(1,0,0),0),0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^4\omega=\varphi(2,0,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^5\omega=\varphi(3,0,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^{\omega}\omega=\varphi(\omega,0,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
由此我们得到了攀爬法序数超运算的极限是&amp;lt;math&amp;gt;\varphi(\omega,0,0)&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
但是现在已经证明了，攀爬法是非良序的。因此这一做法得到的推广是不可靠的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== +1法 ==&lt;br /&gt;
第三中试图解决问题的方案是+1法。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它基于一种特别朴素的想法，即：如果&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^c\alpha=\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;,则修改其值为&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^c(\alpha+1)&amp;lt;/math&amp;gt;.显然，这一改变真正起到效果的是指数上的变化。关于+1法序数超运算，我们有：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
例如：ω^^(ω+1)如果展开为ω^ω^^ω就会遇到不动点，因此触发上述的+1规则。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega+1)=\omega^{\omega\uparrow\uparrow\omega+1}=\omega^{\varepsilon_0+1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
然后，以此类推：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega+2)=\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega2)=\varepsilon_1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega3)=\varepsilon_2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega^2)=\varepsilon_{\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^33=\omega\uparrow\uparrow\omega\uparrow\uparrow\omega=\varepsilon_{\varepsilon_0}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^3\omega=\zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
到ζ_0后，+1法的展开方式将会比较复杂，并产生一些奇特的基础序列。继续分析：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^3(\omega+1)=\omega\uparrow\uparrow(\omega\uparrow^3\omega+1)&lt;br /&gt;
=\omega\uparrow(\omega\uparrow\uparrow(\omega\uparrow^3\omega)+1)&lt;br /&gt;
=\omega\uparrow(\omega\uparrow^3\omega+1)&lt;br /&gt;
=\omega^{\zeta_0+1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega\uparrow^3\omega+\omega)=\varepsilon_{\zeta_0+1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega\uparrow^3\omega*2)=\varepsilon_{\zeta_02}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^3(\omega+2)=\omega\uparrow\uparrow(\omega\uparrow^3(\omega+1))=\varepsilon_{\omega^{\zeta_0+1}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^3(\omega+3)=\varepsilon_{\varepsilon_{\omega^{\zeta_0+1}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^3(\omega2)=\zeta_1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^43=\zeta_{\zeta_0}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^4\omega=\eta_0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^4(\omega+1)=\omega\uparrow^3(\omega\uparrow^4\omega+1)&lt;br /&gt;
=\omega\uparrow\omega\uparrow\uparrow\omega\uparrow^3(\omega\uparrow^4\omega+1)&lt;br /&gt;
=\omega\uparrow(\omega\uparrow^4\omega+1)&lt;br /&gt;
=\omega^{\eta_0+1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^4(\omega+2)=\omega\uparrow^3(\omega\uparrow^4(\omega+1))=\zeta_{\omega^{\eta_0+1}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^4(\omega2)=\eta_1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^5\omega=\varphi(4,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^{\omega}\omega=\varphi(\omega,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
于是我们得到其极限为&amp;lt;math&amp;gt;\varphi(\omega,0)&amp;lt;/math&amp;gt;。它的优点是它和&amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt;函数行为完全一致。但缺点也是这个。这导致了&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega+1)=(\omega\uparrow\uparrow\omega)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;这种奇异的结果，某种意义上丢失了超运算自己的特性。因此可以说，+1法序数超运算被&amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt;函数上位替代了。+1法序数超运算还可以继续拓展，在某些版本中，其增长率与类似的Veblen 函数及Feferman序数折叠函数类似，例如：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\omega\}(\omega2)=\varphi(\omega,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\omega+1\}\omega=\varphi(\omega+1,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\omega\uparrow\uparrow\omega\}\omega=\varphi(\varepsilon_0,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\Omega\}3=\omega\{\omega\{\omega\}\omega\}\omega=\varphi(\varphi(\omega,0),0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\Omega\}\omega=\Gamma_0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\Omega+1\}\omega=\varphi(1,1,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\Omega2\}\omega=\varphi(2,0,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\Omega^2\}\omega=\varphi(1,0,0,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\Omega^\omega\}\omega=\psi(\Omega^{\Omega^\omega})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\Omega^\Omega\}\omega=\psi(\Omega^{\Omega^\Omega})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\Omega\uparrow\uparrow\omega\}\omega=\psi(\Omega_2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
但如此的拓展达到同样序数的难度要明显大于一般的[[序数坍缩函数]]。有些版本引入了更为强大的结构，但已经失去了超运算的特性，其强度主要为引入的更高级序数结构，建议使用以更高级核心的序数记号替代之。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 总结 ==&lt;br /&gt;
到目前为止，序数超运算不是不良定义，就是不理想的。我们不建议在任何地方使用高于&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt;的序数超运算和更高级别的运算。如果要使用，必须仅仅将它作为形式上的符号，并且明确地说明其具体含义。事实上，我们完全可以使用[[Veblen 函数]]这样的更加强大且清晰的[[序数记号]]来替代它。&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;br /&gt;
[[分类:入门]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2731</id>
		<title>PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2731"/>
		<updated>2026-02-21T09:30:34Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Parented Predecessor Sequence(PPS)&#039;&#039;&#039;是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是[[项定位方式#2.标记父项位置|标记父项位置]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年8月，PPS2被发现[[无穷降链]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截止到2026年2月21日，目前PPS的已知良序极限为0,1,0,2,2,0,5,2,0,8,8,6,0,12,8,6,0,16,16,15,0,16,16,15,0,15,0,26,26,15,0,26,26,13,6,2,0,35,0,26,13,8,6,0,0,15,0,46,46,15,0,46,46,13,6,0,55,55,0,58,58,0,61,61...&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了[[PRRS]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.如果末项是0，则它是后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2.末项之前的部分保持不变&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i&amp;gt;x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项&lt;br /&gt;
=== 分析 ===&lt;br /&gt;
另见[[PPS分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 地府段 ===&lt;br /&gt;
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10 ====&lt;br /&gt;
[[文件:pcf 25-07-22.jpg|缩略图|2025年7月22日，来自PCF]]&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它们分别对应序数&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}\times 2}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
和&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\varepsilon_0}+1}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，&#039;&#039;&#039;四百行&#039;&#039;&#039;扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截至目前，我们仍未得知0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10对应哪个序数，不过根据Phyrion的猜测，它有可能&amp;lt;math&amp;gt;\ge \zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2724</id>
		<title>PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2724"/>
		<updated>2026-02-21T08:55:49Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Parented Predecessor Sequence(PPS)&#039;&#039;&#039;是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是[[项定位方式#2.标记父项位置|标记父项位置]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年8月，PPS2被发现[[无穷降链]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截止到2026年2月21日，目前PPS的已知良序极限为0,1,0,2,2,0,5,2,0,8,8,6,0,12,8,6,0,16,16,15,0,16,16,15,0,15,0,26,26,15,0,26,26,13,7,0,35,32,13,6,2,0,36,13,8,6,0,0,0,13,7,0,51,15,0,54,54,15,0,54,54,13,6,0,63,63,0,66,66...&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了[[PRRS]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.如果末项是0，则它是后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2.末项之前的部分保持不变&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i&amp;gt;x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项&lt;br /&gt;
=== 分析 ===&lt;br /&gt;
另见[[PPS分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 地府段 ===&lt;br /&gt;
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10 ====&lt;br /&gt;
[[文件:pcf 25-07-22.jpg|缩略图|2025年7月22日，来自PCF]]&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它们分别对应序数&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}\times 2}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
和&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\varepsilon_0}+1}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，&#039;&#039;&#039;四百行&#039;&#039;&#039;扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截至目前，我们仍未得知0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10对应哪个序数，不过根据Phyrion的猜测，它有可能&amp;lt;math&amp;gt;\ge \zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%BA%8F%E6%95%B0%E8%B6%85%E8%BF%90%E7%AE%97&amp;diff=2715</id>
		<title>序数超运算</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%BA%8F%E6%95%B0%E8%B6%85%E8%BF%90%E7%AE%97&amp;diff=2715"/>
		<updated>2026-02-21T05:59:19Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​修复部分公式排版&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;序数超运算是对序数使用[[超运算序列|超运算]]的尝试。它虽然是最直观、新人最容易想到的模式，但已经被长期的[[googology]]实践所证明是低效、难以扩展的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 原定义 ==&lt;br /&gt;
首先，我们仿照[[高德纳箭头]]在自然数上的定义和[[序数#序数的运算|序数运算]]的定义，给出序数使用高德纳箭头的定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\uparrow^1\beta=\alpha^{\beta}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\uparrow^c1=\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\uparrow^{c+1}(\beta+1)=\alpha\uparrow^c(\alpha\uparrow^{c+1}\beta)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\uparrow^c\lambda=\sup\{\alpha\uparrow^c\beta|\beta&amp;lt;\lambda\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中&amp;lt;math&amp;gt;\alpha,\beta&amp;lt;/math&amp;gt;是任意序数，c是自然数，&amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt;是非0极限序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这样一来，就有&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^2(\omega+1)=\omega^{\omega\uparrow^2\omega}=sup\{\omega^{\omega\uparrow^2n}|n&amp;lt;\omega\}=sup\{\omega\uparrow^2n|n&amp;lt;\omega\}=\omega\uparrow^2\omega&amp;lt;/math&amp;gt;.进一步，对任意&amp;lt;math&amp;gt;\beta\geq\omega&amp;lt;/math&amp;gt;，都有&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^2\beta=\omega\uparrow^2\omega&amp;lt;/math&amp;gt;.再进一步，对任意的&amp;lt;math&amp;gt;c\geq2,\beta\geq\omega&amp;lt;/math&amp;gt;,都有&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^c\beta=\omega\uparrow^2\omega&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这显然不是我们所期待的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 左结合法 ==&lt;br /&gt;
第一种试图解决问题的方案是左结合法。它借鉴了[[下箭号表示法|下箭头表示法]]，给出序数使用下箭头的定义：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\downarrow^1\beta=\alpha^{\beta}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\downarrow^c1=\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\downarrow^{c+1}(\beta+1)=(\alpha\downarrow^{c+1}\beta)\downarrow\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;\alpha\downarrow^c\lambda=sup\{\alpha\downarrow^c\beta|\beta&amp;lt;\lambda\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
其中&amp;lt;math&amp;gt;\alpha,\beta&amp;lt;/math&amp;gt;是任意序数，c是自然数，&amp;lt;math&amp;gt;\lambda&amp;lt;/math&amp;gt;是非0极限序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
于是有：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^22=\omega^\omega &lt;br /&gt;
&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^23=\omega^{\omega^2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^2\omega=\omega^{\omega^\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(\omega\downarrow^2\omega)\downarrow^22=\omega^{\omega^{\omega^\omega}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^33=\omega^{\omega^{\omega^{\omega^\omega}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^34=\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^\omega}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^3\omega=\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(\omega\downarrow^3\omega)\downarrow^22=\varepsilon_0^{\varepsilon_0}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(\omega\downarrow^3\omega)\downarrow^2\omega=\varepsilon_0^{\varepsilon_0^\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(\omega\downarrow^3\omega)\downarrow^32=\varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(\omega\downarrow^3\omega)\downarrow^33=\varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^43=\varepsilon_1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^44=\varepsilon_2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^4\omega=\varepsilon_\omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(\omega\downarrow^4\omega)\downarrow^3\omega=\varepsilon_{\omega+1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(\omega\downarrow^4\omega)\downarrow^42=\varepsilon_{\varepsilon_\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;(\omega\downarrow^4\omega)\downarrow^43=\varepsilon_{\varepsilon_\omega2}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^53=\varepsilon_{\varepsilon_\omega\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^54=\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_\omega\omega}\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^5\omega=\zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^6\omega=\zeta_\omega&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^7\omega=\varphi(3,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\downarrow^{1+2n}\omega=\varphi(n,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
把下箭头用到序数上，其极限为&amp;lt;math&amp;gt;\varphi(\omega,0)&amp;lt;/math&amp;gt;，也符合箭头运算的强度。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
但是，左结合的下箭头行为和高德纳箭头差异还是不小，而且两个箭头对应一个&amp;lt;math&amp;gt;\varphi(n,0)&amp;lt;/math&amp;gt;还是不太符合我们的预期。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 攀爬法 ==&lt;br /&gt;
第二种试图解决问题的方案是攀爬法。攀爬法提供了一种更强的推广。我们知道，&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_1&amp;lt;/math&amp;gt;的基本列是&amp;lt;math&amp;gt;\{\omega^{\varepsilon_0+1},\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}},\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}},\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;，我们可以将其表示为&amp;lt;math&amp;gt;\{\omega^{\omega^{\omega^{\cdots}}}+1,\omega^{\omega^{\omega^{\cdots}}+1},\omega^{\omega^{\omega^{\cdots}+1}},\cdots\}&amp;lt;/math&amp;gt;.在这里我们把&amp;lt;math&amp;gt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt;的指数塔固定在&amp;lt;math&amp;gt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。在这样的基本列中，+1像在指数塔攀爬一样，攀爬法也因此而得名。在基本列的尽头，+1攀爬到了指数塔的顶端，与原来在顶端的1相加变为2。因此我们得到&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_1=\underbrace{\omega^{\omega^{\cdots^{2}}}}_{\omega+1 \text{ layers}}&amp;lt;/math&amp;gt;.进一步的，按照攀爬法我们有&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega}=\underbrace{\omega^{\omega^{\cdots^{\omega}}}}_{\omega+1 \text{ layers}}&amp;lt;/math&amp;gt;,我们将其记为&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega+1)=\varepsilon_{\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
进一步有：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega+2)=\varepsilon_{\omega^{\omega}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega\times2)=\varepsilon_{\varepsilon_0}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega^2)=\zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega^3)=\eta_0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega^{\omega})=\varphi(\omega,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow\omega\uparrow\uparrow\omega=\varphi(\varphi(1,0),0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^34=\varphi(\varphi(\varphi(1,0),0),0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^3\omega=\varphi(1,0,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^3(\omega+1)=\varphi(1,0,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^3(\omega^2)=\varphi(1,1,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^3\omega\uparrow^3\omega=\varphi(1,\varphi(1,0,0),0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^44=\varphi(1,\varphi(1,\varphi(1,0,0),0),0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^4\omega=\varphi(2,0,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^5\omega=\varphi(3,0,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^{\omega}\omega=\varphi(\omega,0,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
由此我们得到了攀爬法序数超运算的极限是&amp;lt;math&amp;gt;\varphi(\omega,0,0)&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
但是现在已经证明了，攀爬法是非良序的。因此这一做法得到的推广是不可靠的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== +1法 ==&lt;br /&gt;
第三中试图解决问题的方案是+1法。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它基于一种特别朴素的想法，即：如果&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^c\alpha=\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;,则修改其值为&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^c(\alpha+1)&amp;lt;/math&amp;gt;.显然，这一改变真正起到效果的是指数上的变化。关于+1法序数超运算，我们有：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
例如：ω^^(ω+1)如果展开为ω^ω^^ω就会遇到不动点，因此触发上述的+1规则。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega+1)=\omega^{\omega\uparrow\uparrow\omega+1}=\omega^{\varepsilon_0+1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
然后，以此类推：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega+2)=\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega2)=\varepsilon_1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega3)=\varepsilon_2&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega^2)=\varepsilon_{\omega}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^33=\omega\uparrow\uparrow\omega\uparrow\uparrow\omega=\varepsilon_{\varepsilon_0}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^3\omega=\zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
到ζ_0后，+1法的展开方式将会比较复杂，并产生一些奇特的基础序列。继续分析：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^3(\omega+1)=\omega\uparrow\uparrow(\omega\uparrow^3\omega+1)&lt;br /&gt;
=\omega\uparrow(\omega\uparrow\uparrow(\omega\uparrow^3\omega)+1)&lt;br /&gt;
=\omega\uparrow(\omega\uparrow^3\omega+1)&lt;br /&gt;
=\omega^{\zeta_0+1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega\uparrow^3\omega+\omega)=\varepsilon_{\zeta_0+1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega\uparrow^3\omega*2)=\varepsilon_{\zeta_02}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^3(\omega+2)=\omega\uparrow\uparrow(\omega\uparrow^3(\omega+1))=\varepsilon_{\omega^{\zeta_0+1}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^3(\omega+3)=\varepsilon_{\varepsilon_{\omega^{\zeta_0+1}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^3(\omega2)=\zeta_1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^43=\zeta_{\zeta_0}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^4\omega=\eta_0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^4(\omega+1)=\omega\uparrow^3(\omega\uparrow^4\omega+1)&lt;br /&gt;
=\omega\uparrow\omega\uparrow\uparrow\omega\uparrow^3(\omega\uparrow^4\omega+1)&lt;br /&gt;
=\omega\uparrow(\omega\uparrow^4\omega+1)&lt;br /&gt;
=\omega^{\eta_0+1}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^4(\omega+2)=\omega\uparrow^3(\omega\uparrow^4(\omega+1))=\zeta_{\omega^{\eta_0+1}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^4(\omega2)=\eta_1&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^5\omega=\varphi(4,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow^{\omega}\omega=\varphi(\omega,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
于是我们得到其极限为&amp;lt;math&amp;gt;\varphi(\omega,0)&amp;lt;/math&amp;gt;。它的优点是它和&amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt;函数行为完全一致。但缺点也是这个。这导致了&amp;lt;math&amp;gt;\omega\uparrow\uparrow(\omega+1)=(\omega\uparrow\uparrow\omega)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;这种奇异的结果，某种意义上丢失了超运算自己的特性。因此可以说，+1法序数超运算被&amp;lt;math&amp;gt;\varphi&amp;lt;/math&amp;gt;函数上位替代了。+1法序数超运算还可以继续拓展，在某些版本中，其增长率与类似的Veblen 函数及Feferman序数折叠函数类似，例如：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\omega\}(\omega2)=\varphi(\omega,1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\omega+1\}\omega=\varphi(\omega+1,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\omega\uparrow\uparrow\omega\}\omega=\varphi(\varepsilon_0,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\Omega\}3=\omega\{\omega\{\omega\}\omega\}\omega=\varphi(\varphi(\omega,0),0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\Omega\}\omega=\Gamma_0&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\Omega+1\}\omega=\varphi(1,1,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\Omega2\}\omega=\varphi(2,0,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\Omega^2\}\omega=\varphi(1,0,0,0)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\Omega^\omega\}\omega=\psi(\Omega^{\Omega^\omega})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\Omega^\Omega\}\omega=\psi(\Omega^{\Omega^\Omega})&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\omega\{\Omega\uparrow\uparrow\omega\}\omega=\psi(\Omega_2)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
但如此的拓展达到同样序数的难度要明显大于一般的[[序数坍缩函数]]。有些版本引入了更为强大的结构，但已经失去了超运算的特性，其强度主要为引入的更高级序数结构，建议使用以更高级核心的序数记号替代之。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 总结 ==&lt;br /&gt;
到目前为止，序数超运算不是不良定义，就是不理想的。我们不建议在任何地方使用高于&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt;的序数超运算和更高级别的运算。如果要使用，必须仅仅将它作为形式上的符号，并且明确地说明其具体含义。事实上，我们完全可以使用[[Veblen 函数]]这样的更加强大且清晰的[[序数记号]]来替代它。&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;br /&gt;
[[分类:入门]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2714</id>
		<title>PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2714"/>
		<updated>2026-02-21T05:52:39Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Parented Predecessor Sequence(PPS)&#039;&#039;&#039;是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是[[项定位方式#2.标记父项位置|标记父项位置]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年8月，PPS2被发现[[无穷降链]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截止到2026年2月21日，目前PPS的已知良序极限为0,1,0,2,2,0,5,2,0,8,8,6,0,12,8,6,0,16,16,15,0,16,16,15,0,15,0,26,26,15,0,26,26,13,8,6,0,15,0,38,38,15,0,38,38,13,6,1,0,38,15,0,51,51,6,2,0,0,8,6,0,60,60,59,0,60,60,59,0,59,0,70,70,59,0,70,70,0,6,0,79,8,6,0,83,83,82,0,83,83,82,0,82,0,93,93,82,0,93,93,80,8,6,0,82,0,105,105,82,0,105,105,80,6,0,114,114,0,117,117,...&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了[[PRRS]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.如果末项是0，则它是后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2.末项之前的部分保持不变&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i&amp;gt;x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项&lt;br /&gt;
=== 分析 ===&lt;br /&gt;
另见[[PPS分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 地府段 ===&lt;br /&gt;
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10 ====&lt;br /&gt;
[[文件:pcf 25-07-22.jpg|缩略图|2025年7月22日，来自PCF]]&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它们分别对应序数&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}\times 2}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
和&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\varepsilon_0}+1}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，&#039;&#039;&#039;四百行&#039;&#039;&#039;扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截至目前，我们仍未得知0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10对应哪个序数，不过根据Phyrion的猜测，它有可能&amp;lt;math&amp;gt;\ge \zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PrSS_%E7%9A%84%E8%89%AF%E5%BA%8F%E6%80%A7&amp;diff=2687</id>
		<title>PrSS 的良序性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=PrSS_%E7%9A%84%E8%89%AF%E5%BA%8F%E6%80%A7&amp;diff=2687"/>
		<updated>2026-02-20T09:37:33Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​0100000000a7移动页面PrSS 的良序性至PrSS的良序性：​恢复&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;#重定向 [[PrSS的良序性]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PrSS%E7%9A%84%E8%89%AF%E5%BA%8F%E6%80%A7&amp;diff=2686</id>
		<title>PrSS的良序性</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=PrSS%E7%9A%84%E8%89%AF%E5%BA%8F%E6%80%A7&amp;diff=2686"/>
		<updated>2026-02-20T09:37:33Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​0100000000a7移动页面PrSS 的良序性至PrSS的良序性：​恢复&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;=== PrSS 没有无穷降链 ===&lt;br /&gt;
首先我们将 [[初等序列系统|PrSS]] 的每个合法表达式 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 对应于一个不超过 &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt; 的[[序数]] &amp;lt;math&amp;gt;F(S)&amp;lt;/math&amp;gt;。然后我们证明 PrSS 表达式展开时，其对应的序数严格递减。于是就可以依据 &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt; 的[[良序|良序性]]说明 PrSS 没有无穷降链。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;第一步&#039;&#039;&#039;：将 PrSS 的每个合法表达式对应于一个不超过 &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt; 的序数。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对 PrSS 表达式的长度归纳定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
任取 PrSS 合法表达式 &amp;lt;math&amp;gt;S=(a_1,a_2,\cdots,a_n)&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;n=0&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;F(S)=0&amp;lt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;gt;0&amp;lt;/math&amp;gt;，分两种情况讨论：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 若 &amp;lt;math&amp;gt;\forall i\in\{2,3,\cdots,n\},a_i\neq 0&amp;lt;/math&amp;gt;，则取 &amp;lt;math&amp;gt;T=(a_2-1,a_3-1,\cdots,a_n-1)&amp;lt;/math&amp;gt;。&amp;lt;br&amp;gt;不难验证，&amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; 是合法的 PrSS 表达式，且 &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; 的长度比 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 的长度短。令 &amp;lt;math&amp;gt;F(S)=\omega^{F(T)}&amp;lt;/math&amp;gt;。&amp;lt;br&amp;gt;因为 &amp;lt;math&amp;gt;F(T)&amp;lt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt;，所以 &amp;lt;math&amp;gt;F(S)&amp;lt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
* 否则，设 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 中有 &amp;lt;math&amp;gt;r&amp;lt;/math&amp;gt; 项为零，且 &amp;lt;math&amp;gt;a_{k_1}=a_{k_2}=\cdots=a_{k_r}=0&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 &amp;lt;math&amp;gt;1=k_1&amp;lt;k_2&amp;lt;k_3&amp;lt;\cdots&amp;lt;k_r&amp;lt;k_{r+1}=n+1&amp;lt;/math&amp;gt;。&amp;lt;br&amp;gt;取 &amp;lt;math&amp;gt;S_i=(a_{k_i},a_{k_i+1},\cdots,a_{k_{i+1}-1}),\quad i=1,2,\cdots,r&amp;lt;/math&amp;gt;，不难验证 &amp;lt;math&amp;gt;S_1,S_2,\cdots,S_r&amp;lt;/math&amp;gt; 都是合法的 PrSS 表达式，且它们的长度都比 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 短。&amp;lt;br&amp;gt;令 &amp;lt;math&amp;gt;F(S)=F(S_1)+F(S_2)+\cdots+F(S_r)&amp;lt;/math&amp;gt;。&amp;lt;br&amp;gt;因为 &amp;lt;math&amp;gt;F(S_1),F(S_2),\cdots,F(S_r)&amp;lt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt;，所以 &amp;lt;math&amp;gt;F(S)&amp;lt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;第二步&#039;&#039;&#039;：证明 PrSS 表达式展开时，其对应的序数严格递减。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对 PrSS 表达式的长度归纳证明。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
任取 PrSS 表达式 &amp;lt;math&amp;gt;S=(a_1,a_2,\cdots,a_n)&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;n=0&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 无法展开。下面讨论 &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;gt;0&amp;lt;/math&amp;gt; 的情况。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;a_n=0&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 的展开式（前驱表达式）是 &amp;lt;math&amp;gt;T=(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1})&amp;lt;/math&amp;gt;。分为两种情况讨论：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 若 &amp;lt;math&amp;gt;\forall i\in\{2,3,\cdots,n\},a_i\neq 0&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;S=(0)&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;F(S)=1&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;T=()&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;F(T)=0&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;F(T)&amp;lt;F(S)&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
* 否则，设 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 中有 &amp;lt;math&amp;gt;r&amp;lt;/math&amp;gt; 项为零，且 &amp;lt;math&amp;gt;a_{k_1}=a_{k_2}=\cdots=a_{k_r}=0&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 &amp;lt;math&amp;gt;1=k_1&amp;lt;k_2&amp;lt;k_3&amp;lt;\cdots&amp;lt;k_r=n&amp;lt;k_{r+1}=n+1&amp;lt;/math&amp;gt;。&amp;lt;br&amp;gt;取 &amp;lt;math&amp;gt;S_i=(a_{k_i},a_{k_i+1},\cdots,a_{k_{i+1}-1}),\quad i=1,2,\cdots,r&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;F(S)=F(S_1)+F(S_2)+\cdots+F(S_r)&amp;lt;/math&amp;gt;。&amp;lt;br&amp;gt;注意到 &amp;lt;math&amp;gt;S_r=(0)&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;F(S_r)=1&amp;lt;/math&amp;gt;，所以 &amp;lt;math&amp;gt;F(T)=F(S_1)+F(S_2)+\cdots+F(S_{r-1})&amp;lt;/math&amp;gt;，所以 &amp;lt;math&amp;gt;F(S)=F(T)+1&amp;gt;F(T)&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;a_n\neq 0&amp;lt;/math&amp;gt;，分为三种情况讨论：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 若 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 中有不止一项是零。&amp;lt;br&amp;gt;设 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 中有 &amp;lt;math&amp;gt;r&amp;gt;1&amp;lt;/math&amp;gt; 项为零，且 &amp;lt;math&amp;gt;a_{k_1}=a_{k_2}=\cdots=a_{k_r}=0&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 &amp;lt;math&amp;gt;1=k_1&amp;lt;k_2&amp;lt;k_3&amp;lt;\cdots&amp;lt;k_r&amp;lt;k_{r+1}=n+1&amp;lt;/math&amp;gt;。&amp;lt;br&amp;gt;取 &amp;lt;math&amp;gt;S_i=(a_{k_i},a_{k_i+1},\cdots,a_{k_{i+1}-1}),\quad i=1,2,\cdots,r&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;F(S)=F(S_1)+F(S_2)+\cdots+F(S_r)&amp;lt;/math&amp;gt;。&amp;lt;br&amp;gt;设 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 的坏根为 &amp;lt;math&amp;gt;a_x&amp;lt;/math&amp;gt;。不难看出，&amp;lt;math&amp;gt;x\ge k_r&amp;lt;/math&amp;gt;。&amp;lt;br&amp;gt;设 &amp;lt;math&amp;gt;S_r&amp;lt;/math&amp;gt; 的基本列的第 &amp;lt;math&amp;gt;p&amp;lt;/math&amp;gt; 项是 &amp;lt;math&amp;gt;V_p&amp;lt;/math&amp;gt;。由 PrSS 展开规则，&amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 的基本列的第 &amp;lt;math&amp;gt;p&amp;lt;/math&amp;gt; 项是 &amp;lt;math&amp;gt;U_p=(S_1,S_2,\cdots,S_{r-1},V_p)&amp;lt;/math&amp;gt;。&amp;lt;br&amp;gt;因为 &amp;lt;math&amp;gt;S_r&amp;lt;/math&amp;gt; 的长度比 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 短，根据归纳假设，有 &amp;lt;math&amp;gt;F(V_p)&amp;lt;F(S_r)&amp;lt;/math&amp;gt;。&amp;lt;br&amp;gt;设 &amp;lt;math&amp;gt;V_p=(b_1,b_2,\cdots,b_m)&amp;lt;/math&amp;gt; 中有 &amp;lt;math&amp;gt;s&amp;lt;/math&amp;gt; 项为零，且 &amp;lt;math&amp;gt;b_{l_1}=b_{l_2}=\cdots=b_{l_s}=0&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 &amp;lt;math&amp;gt;1=l_1&amp;lt;l_2&amp;lt;l_3&amp;lt;\cdots&amp;lt;l_s&amp;lt;l_{s+1}=m+1&amp;lt;/math&amp;gt;。&amp;lt;br&amp;gt;取 &amp;lt;math&amp;gt;T_i=(b_{l_i},b_{l_i+1},\cdots,b_{l_{i+1}-1}),\quad i=1,2,\cdots,s&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;F(V_p)=F(T_1)+F(T_2)+\cdots+F(T_s)&amp;lt;/math&amp;gt;。&amp;lt;br&amp;gt;所以 &amp;lt;math display=&amp;quot;block&amp;quot;&amp;gt;\begin{aligned}F(U_s)\,&amp;amp;=F(S_1)+F(S_2)+\cdots+F(S_{r-1})+F(T_1)+F(T_2)+\cdots+F(T_s)\\&amp;amp;=F(S_1)+F(S_2)+\cdots+F(S_{r-1})+(F(T_1)+F(T_2)+\cdots+F(T_s))\\&amp;amp;=F(S_1)+F(S_2)+\cdots+F(S_{r-1})+F(V_s)\\&amp;amp;&amp;lt;F(S_1)+F(S_2)+\cdots+F(S_{r-1})+F(S_r)\\&amp;amp;=F(S)\end{aligned}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* 若 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 中仅有首项为零，且末项为 &amp;lt;math&amp;gt;a_n=1&amp;lt;/math&amp;gt;。&amp;lt;br&amp;gt;令 &amp;lt;math&amp;gt;T_1=(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1})&amp;lt;/math&amp;gt;。由 PrSS 展开规则，不难看出 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 的基本列的第 &amp;lt;math&amp;gt;p&amp;lt;/math&amp;gt; 项是 &amp;lt;math&amp;gt;U_p=(T_1,T_1,\cdots,T_1)&amp;lt;/math&amp;gt;，其中有 &amp;lt;math&amp;gt;p&amp;lt;/math&amp;gt; 个 &amp;lt;math&amp;gt;T_1&amp;lt;/math&amp;gt;。&amp;lt;br&amp;gt;显然 &amp;lt;math&amp;gt;n\ge 2&amp;lt;/math&amp;gt;，所以 &amp;lt;math&amp;gt;F(T_1)&amp;gt;0&amp;lt;/math&amp;gt;。&amp;lt;br&amp;gt;那么 &amp;lt;math&amp;gt;F(U_p)=F(T_1)+F(T_1)+\cdots+F(T_1)=F(T_1)\times p&amp;lt;F(T_1)\times\omega&amp;lt;/math&amp;gt;。&amp;lt;br&amp;gt;令 &amp;lt;math&amp;gt;T_2=(a_2-1,a_3-1,\cdots,a_n-1)&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;F(S)=\omega^{F(T_2)}&amp;lt;/math&amp;gt;。&amp;lt;br&amp;gt;令 &amp;lt;math&amp;gt;T_3=(a_2-1,a_3-1,\cdots,a_{n-1}-1)&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;F(T_1)=\omega^{F(T_3)}&amp;lt;/math&amp;gt;。&amp;lt;br&amp;gt;因为 &amp;lt;math&amp;gt;a_n-1=0&amp;lt;/math&amp;gt;，所以 &amp;lt;math&amp;gt;F(T_2)=F(T_3)+1&amp;lt;/math&amp;gt;，所以 &amp;lt;math&amp;gt;F(S)=\omega^{F(T_2)}=\omega^{F(T_3)+1}=\omega^{F(T_3)}\times\omega=F(T_1)\times\omega&amp;gt;F(U_p)&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
* 若 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 中仅有首项为零，且末项为 &amp;lt;math&amp;gt;a_n\neq 1&amp;lt;/math&amp;gt;。&amp;lt;br&amp;gt;令 &amp;lt;math&amp;gt;T=(a_2-1,a_3-1,\cdots,a_n-1)&amp;lt;/math&amp;gt;，因为 &amp;lt;math&amp;gt;a_n-1\neq 0&amp;lt;/math&amp;gt;，所以 &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; 是极限表达式。&amp;lt;br&amp;gt;设 &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; 的基本列的第 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt; 项是 &amp;lt;math&amp;gt;T_k=(b_1,b_2,\cdots,b_{m_k})&amp;lt;/math&amp;gt;，则由 PrSS 展开规则可以看出 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 的基本列的第 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt; 项是 &amp;lt;math&amp;gt;S_k=(0,b_1+1,b_2+1,\cdots,b_{m_k}+1)&amp;lt;/math&amp;gt;。&amp;lt;br&amp;gt;根据归纳假设有 &amp;lt;math&amp;gt;F(T_k)&amp;lt;F(T)&amp;lt;/math&amp;gt;，所以 &amp;lt;math&amp;gt;F(S_k)=\omega^{F(T_k)}&amp;lt;\omega^{F(T)}=F(S)&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证毕。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
以上，我们证明了 PrSS 表达式的展开过程不会无限进行，即不存在无穷降链。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
至此，PrSS 已经是一个合格的序数记号了。但我们不止于此，我们要给出判断 PrSS 表达式是否标准的方法，并证明 PrSS 标准式的序是字典序。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== PrSS 标准表达式 ===&lt;br /&gt;
PrSS 的极限基本列是 &amp;lt;math&amp;gt;(),(0),(0,1),(0,1,2),\cdots&amp;lt;/math&amp;gt;。PrSS 的极限基本列的第 &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt; 项是 &amp;lt;math&amp;gt;L_n=(0,1,2,\cdots,n-1)&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;定义&#039;&#039;&#039;（PrSS 标准表达式）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
一个 PrSS 表达式 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 是 &#039;&#039;&#039;PrSS 标准表达式&#039;&#039;&#039;（简称 &#039;&#039;&#039;PrSS 标准式&#039;&#039;&#039;），当且仅当存在 &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt; 使得极限基本列的第 &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt; 项 &amp;lt;math&amp;gt;L_n&amp;lt;/math&amp;gt; 可以经过若干次展开得到 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
简单地说，标准式就是能从极限基本列展开得到的表达式。对于大部分的序数记号，存在合法但不标准的表达式。这些不标准的合法表达式往往也能对应于一个序数（例如上一节的映射 &amp;lt;math&amp;gt;F&amp;lt;/math&amp;gt; 不要求表达式是标准的），但这将导致不同的合法表达式对应于同一个序数。对应于同一个序数的不同合法表达式，例如 &amp;lt;math&amp;gt;(0,1)&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;(0,0,1)&amp;lt;/math&amp;gt; 都是对应于 &amp;lt;math&amp;gt;\omega&amp;lt;/math&amp;gt; 的表达式，彼此之间无法展开成对方。这意味着合法表达式集不是全序，更不是良序。不同的标准表达式则不会对应于同一个序数，标准表达式集确实是良序的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在这一节，我们将给出 PrSS 标准式的必要条件。该条件实际上也是充分的，不过充分性将在下一节证明。在此之前，我们先来定义字典序的概念。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;定义&#039;&#039;&#039;（字典序）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; 是一个全序集，其上的全序是 &amp;lt;math&amp;gt;\le&amp;lt;/math&amp;gt;。考虑两个数列 &amp;lt;math&amp;gt;S=(a_1,a_2,\cdots,a_n)&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;T=(b_1,b_2,\cdots,b_m)&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 &amp;lt;math&amp;gt;a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots,b_m\in A&amp;lt;/math&amp;gt;。在字典序下，&amp;lt;math&amp;gt;S\le T&amp;lt;/math&amp;gt; 当且仅当以下两条中的一条成立：&lt;br /&gt;
* 存在 &amp;lt;math&amp;gt;0\le k&amp;lt;\min\{n,m\}&amp;lt;/math&amp;gt; 使得对任意 &amp;lt;math&amp;gt;i\in\{1,2,\cdots,k\}&amp;lt;/math&amp;gt; 有 &amp;lt;math&amp;gt;a_i=b_i&amp;lt;/math&amp;gt;，但 &amp;lt;math&amp;gt;a_{k+1}&amp;lt;b_{k+1}&amp;lt;/math&amp;gt;；&lt;br /&gt;
* 对任意 &amp;lt;math&amp;gt;i\in\{1,2,\cdots,\min\{n,m\}\}&amp;lt;/math&amp;gt; 有 &amp;lt;math&amp;gt;a_i=b_i&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;n\le m&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
不难看出，对任意两个由 &amp;lt;math&amp;gt;A&amp;lt;/math&amp;gt; 中元素组成的有限数列 &amp;lt;math&amp;gt;S,T&amp;lt;/math&amp;gt;，总有 &amp;lt;math&amp;gt;S\le T\lor T\le S&amp;lt;/math&amp;gt;。也就是说，字典序是全序。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;引理&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PrSS 表达式展开时，字典序变小。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;证明&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;S=(a_1,a_2,\cdots,a_n)&amp;lt;/math&amp;gt; 是 PrSS 表达式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
如果 &amp;lt;math&amp;gt;a_n=0&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 的展开式为 &amp;lt;math&amp;gt;T=(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1})&amp;lt;/math&amp;gt;。根据定义，对任意 &amp;lt;math&amp;gt;i\in\{1,2,\cdots,n-1\}&amp;lt;/math&amp;gt; 有 &amp;lt;math&amp;gt;a_i=a_i&amp;lt;/math&amp;gt;，且 &amp;lt;math&amp;gt;n-1&amp;lt;m&amp;lt;/math&amp;gt;，所以 &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;S&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
如果 &amp;lt;math&amp;gt;a_n\neq 0&amp;lt;/math&amp;gt;，且展开式 &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; 是 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 的基本列的第 &amp;lt;math&amp;gt;0&amp;lt;/math&amp;gt; 项，则 &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; 相当于删去 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 的末项，所以 &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;S&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
如果 &amp;lt;math&amp;gt;a_n\neq 0&amp;lt;/math&amp;gt;，且展开式 &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; 是 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 的基本列的第 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;gt;0&amp;lt;/math&amp;gt; 项，则 &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; 相当于删去 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 的末项，并复制若干次坏部。因为坏部的第一项（坏根）小于末项，所以 &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;S&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证毕。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
现在可以给出 PrSS 标准式的必要条件了。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;临时定义&#039;&#039;&#039;（PrSS 规范式）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对表达式 &amp;lt;math&amp;gt;S=(a_1,a_2,\cdots,a_n)&amp;lt;/math&amp;gt; 的长度 &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt; 归纳定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;n=0&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;S=()&amp;lt;/math&amp;gt; 是 PrSS 规范式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;gt;0&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 中仅有首项是零，则 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 是 PrSS 规范式当且仅当 &amp;lt;math&amp;gt;(a_2-1,a_3-1,\cdots,a_n-1)&amp;lt;/math&amp;gt; 是 PrSS 规范式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;gt;0&amp;lt;/math&amp;gt; 且 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 中有 &amp;lt;math&amp;gt;r&amp;gt;1&amp;lt;/math&amp;gt; 项是零，设 &amp;lt;math&amp;gt;a_{k_1}=a_{k_2}=\cdots=a_{k_r}=0&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 &amp;lt;math&amp;gt;1=k_1&amp;lt;k_2&amp;lt;\cdots&amp;lt;k_r&amp;lt;k_{r+1}=n+1&amp;lt;/math&amp;gt;，令 &amp;lt;math&amp;gt;S_i=(a_{k_i},a_{k_i+1},\cdots,a_{k_{i+1}-1})&amp;lt;/math&amp;gt;。则 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 是 PrSS 规范式当且仅当 &amp;lt;math&amp;gt;S_1,S_2,\cdots,S_r&amp;lt;/math&amp;gt; 都是 PrSS 规范式且按字典序 &amp;lt;math&amp;gt;S_1\ge S_2\ge\cdots\ge S_r&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PrSS 规范式是本文临时定义的，并不是通用术语。PrSS 规范式实际上等价于 PrSS 标准式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;定理&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PrSS 标准式都是 PrSS 规范式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;证明&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
不难看出 PrSS 极限基本列都是 PrSS 规范式，因此只需证明 PrSS 规范式的展开式也是 PrSS 规范式即可。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对规范表达式 &amp;lt;math&amp;gt;S=(a_1,a_2,\cdots,a_n)&amp;lt;/math&amp;gt; 的长度 &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt; 归纳证明。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;n=0,1&amp;lt;/math&amp;gt; 的情况是平凡的，下面讨论 &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;gt;1&amp;lt;/math&amp;gt; 的情况。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 中有 &amp;lt;math&amp;gt;r&amp;gt;1&amp;lt;/math&amp;gt; 项是零，设 &amp;lt;math&amp;gt;a_{k_1}=a_{k_2}=\cdots=a_{k_r}=0&amp;lt;/math&amp;gt;，其中 &amp;lt;math&amp;gt;1=k_1&amp;lt;k_2&amp;lt;\cdots&amp;lt;k_r&amp;lt;k_{r+1}=n+1&amp;lt;/math&amp;gt;，令 &amp;lt;math&amp;gt;S_i=(a_{k_i},a_{k_i+1},\cdots,a_{k_{i+1}-1})&amp;lt;/math&amp;gt;。则 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 的展开相当于 &amp;lt;math&amp;gt;S_r&amp;lt;/math&amp;gt; 的展开。根据归纳假设，&amp;lt;math&amp;gt;S_r&amp;lt;/math&amp;gt; 的展开式是规范的。因为 &amp;lt;math&amp;gt;S_r&amp;lt;/math&amp;gt; 展开后字典序会变小（引理），所以 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 展开后，各部分的字典序依然递减，所以 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 的展开式是规范的。注意这里要讨论 &amp;lt;math&amp;gt;S_r&amp;lt;/math&amp;gt; 的展开式有不止一个零的情况，不过这个讨论并不难，感兴趣的读者可以自行讨论。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 中仅有一项是零，且 &amp;lt;math&amp;gt;a_n=1&amp;lt;/math&amp;gt;。令 &amp;lt;math&amp;gt;T_1=(a_2-1,a_3-1,\cdots,a_n-1)&amp;lt;/math&amp;gt;。因为 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 是规范表达式，根据规范表达式的定义，&amp;lt;math&amp;gt;T_1&amp;lt;/math&amp;gt; 也是规范表达式。从规范表达式的定义中不难看出，去掉 &amp;lt;math&amp;gt;T_1&amp;lt;/math&amp;gt; 末尾的 &amp;lt;math&amp;gt;a_n-1=0&amp;lt;/math&amp;gt; 后依然是规范的，即 &amp;lt;math&amp;gt;T_2=(a_2-1,a_3-1,\cdots,a_{n-1}-1)&amp;lt;/math&amp;gt; 规范。所以 &amp;lt;math&amp;gt;T=(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1})&amp;lt;/math&amp;gt; 规范。注意到 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 的展开式形如 &amp;lt;math&amp;gt;(T,T,\cdots,T)&amp;lt;/math&amp;gt;，所以 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 的展开式是规范的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 中仅有一项是零，且 &amp;lt;math&amp;gt;a_n\neq 1&amp;lt;/math&amp;gt;。令 &amp;lt;math&amp;gt;T=(a_2-1,a_3-1,\cdots,a_n-1)&amp;lt;/math&amp;gt;。因为 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 规范，所以 &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; 规范。根据归纳假设，&amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; 的展开式是规范的。设 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 的一个展开式是 &amp;lt;math&amp;gt;(b_1,b_2,\cdots,b_m)&amp;lt;/math&amp;gt;，则由 PrSS 展开规则可知 &amp;lt;math&amp;gt;(b_2-1,b_3-1,\cdots,b_m-1)&amp;lt;/math&amp;gt; 是 &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; 的展开式，是规范的，所以 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 的展开式也是规范的。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证毕。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
在第一节证明 PrSS 没有无穷降链时，我们使用了序数的良序性。如果想不依赖序数就证明 PrSS 没有无穷降链，参见知乎用户  www620 的证明&amp;lt;ref&amp;gt;https://zhuanlan.zhihu.com/p/13871622947&amp;lt;/ref&amp;gt;。这个证明依赖本节的两个结论：PrSS 表达式展开时字典序变小、PrSS 标准式都是规范式。注意到本节的两个结论不依赖第一节，所以没有循环论证的问题。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== PrSS 标准式集的良序性 ===&lt;br /&gt;
上一节我们证明了 PrSS 合法表达式在展开过程中字典序变小，并由此得到了 PrSS 标准式的必要条件。这一节，我们证明字典序变小反过来也意味着可以展开得到，并由此得到 PrSS 标准式的充分条件。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;定理&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;S,T&amp;lt;/math&amp;gt; 是 PrSS 规范式，且按字典序 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;T&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 经过若干次展开可以得到 &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
注意上一节的引理对任意 PrSS 合法式均成立，而这个定理要求 &amp;lt;math&amp;gt;S,T&amp;lt;/math&amp;gt; 都是规范式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;证明&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
定义一种特殊的展开函数 &amp;lt;math&amp;gt;E&amp;lt;/math&amp;gt;：设 PrSS 表达式 &amp;lt;math&amp;gt;U&amp;lt;/math&amp;gt; 的基本列为 &amp;lt;math&amp;gt;U_0,U_1,U_2,\cdots&amp;lt;/math&amp;gt;。若存在 &amp;lt;math&amp;gt;i&amp;lt;/math&amp;gt; 使得按字典序 &amp;lt;math&amp;gt;U_i\ge S&amp;lt;/math&amp;gt;，则取 &amp;lt;math&amp;gt;k=\min\{i\mid U_i\ge S\}&amp;lt;/math&amp;gt; 并定义 &amp;lt;math&amp;gt;E(U)=U_k&amp;lt;/math&amp;gt;。如果对任意 &amp;lt;math&amp;gt;i&amp;lt;/math&amp;gt; 都有按字典序 &amp;lt;math&amp;gt;U_i&amp;lt;S&amp;lt;/math&amp;gt;，则取 &amp;lt;math&amp;gt;E(U)=U&amp;lt;/math&amp;gt;。如果 &amp;lt;math&amp;gt;U&amp;lt;/math&amp;gt; 是后缀表达式，则取 &amp;lt;math&amp;gt;U_0=U_1=\cdots&amp;lt;/math&amp;gt; 为 &amp;lt;math&amp;gt;U&amp;lt;/math&amp;gt; 的前驱表达式。特殊地，如果 &amp;lt;math&amp;gt;U&amp;lt;/math&amp;gt; 是零表达式，则 &amp;lt;math&amp;gt;E(U)=U&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
从 &amp;lt;math&amp;gt;E&amp;lt;/math&amp;gt; 的定义不难看出，如果按字典序 &amp;lt;math&amp;gt;U\ge S&amp;lt;/math&amp;gt;，则按字典序 &amp;lt;math&amp;gt;E(U)\ge S&amp;lt;/math&amp;gt;。令 &amp;lt;math&amp;gt;T_0=T&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;T_{n+1}=E(T_n)&amp;lt;/math&amp;gt;。因为按字典序 &amp;lt;math&amp;gt;T&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt;，所以对任意 &amp;lt;math&amp;gt;i&amp;lt;/math&amp;gt; 都有按字典序 &amp;lt;math&amp;gt;T_i\ge S&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
而第一节已经证明 PrSS 不存在无穷降链，所以存在 &amp;lt;math&amp;gt;k&amp;lt;/math&amp;gt; 使得 &amp;lt;math&amp;gt;T_k=T_{k+1}=\cdots&amp;lt;/math&amp;gt;。讨论一下不难得到，这时有两种可能：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;T_k=S&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
* 按字典序 &amp;lt;math&amp;gt;T_k&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt;，但 &amp;lt;math&amp;gt;T_k&amp;lt;/math&amp;gt; 的基本列的每一项都按字典序小于 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt;。进一步讨论还可以看出，这种情况下 &amp;lt;math&amp;gt;T_k&amp;lt;/math&amp;gt; 一定是极限表达式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前一种情况命题已经成立，只需要用反证法证明后一种情况不存在即可。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若存在，设 &amp;lt;math&amp;gt;T_k&amp;lt;/math&amp;gt; 的好部是 &amp;lt;math&amp;gt;G&amp;lt;/math&amp;gt;，坏部是 &amp;lt;math&amp;gt;B&amp;lt;/math&amp;gt;，末项是 &amp;lt;math&amp;gt;L&amp;lt;/math&amp;gt;，坏根是 &amp;lt;math&amp;gt;L-1&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;T_k=(G,B,L)&amp;lt;/math&amp;gt;，而 &amp;lt;math&amp;gt;T_k&amp;lt;/math&amp;gt; 的展开式形如 &amp;lt;math&amp;gt;(G,B,B,\cdots)&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
如果 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 按字典序小于 &amp;lt;math&amp;gt;T_k&amp;lt;/math&amp;gt; 而大于 &amp;lt;math&amp;gt;(G,B,B,\cdots)&amp;lt;/math&amp;gt;，那么 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 一定以 &amp;lt;math&amp;gt;(G,B)&amp;lt;/math&amp;gt; 开头。设 &amp;lt;math&amp;gt;S=(G,B,X)&amp;lt;/math&amp;gt;，那么 &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt; 的首项等于坏根 &amp;lt;math&amp;gt;L-1&amp;lt;/math&amp;gt;，而 &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt; 按字典序大于 &amp;lt;math&amp;gt;(B,B,\cdots)&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
这与 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 是规范表达式相矛盾。这个矛盾可以更明确地写出来，但会占据大量篇幅且可能不会提供新的见解，所以在此略。也许以后我会补充。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证毕。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
至此，我们已经证明了，规范表达式集上由展开定义的序，等价于字典序。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;定理&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PrSS 规范式都是 PrSS 标准式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;证明&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 是 PrSS 规范式。存在 &amp;lt;math&amp;gt;n&amp;lt;/math&amp;gt; 使得 &amp;lt;math&amp;gt;T=(0,1,2,\cdots,n-1)&amp;lt;/math&amp;gt; 按字典序大于 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt;。根据上一个定理，&amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt; 可以展开成 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt;，所以 &amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt; 是 PrSS 标准式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证毕。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
至此，我们证明了 PrSS 没有无穷降链、PrSS 标准式集的序是字典序，而字典序是全序，所以 PrSS 标准式集上的序是良序。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
但我们不止于此。下一节，我们要证明 PrSS 标准式集[[良序|序同构]]于 &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== PrSS 标准式集的序型 ===&lt;br /&gt;
为了证明 PrSS 标准式集[[良序|序同构]]于 &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt;，我们要证明第一节定义的保序映射 &amp;lt;math&amp;gt;F&amp;lt;/math&amp;gt; 是 PrSS 标准式集和 &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt; 之间的双射，结合 PrSS 标准式集的全序性，就能说明 &amp;lt;math&amp;gt;F&amp;lt;/math&amp;gt; 是 PrSS 标准式集和 &amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt; 之间的序同构。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;定理&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;F&amp;lt;/math&amp;gt;是 PrSS 标准式集与&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt;之间的保序双射。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;证明&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于小于&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt;的序数&amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;，定义&amp;lt;math&amp;gt;Seq(\alpha)=(a_1,a_2,\cdots,a_k)&amp;lt;/math&amp;gt;是这样的自然数序列：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;Seq(0)=()&amp;lt;/math&amp;gt;为空序列&lt;br /&gt;
* &amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;gt;0&amp;lt;/math&amp;gt;时，设它的康托范式为&amp;lt;math&amp;gt;\alpha=\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_n}&amp;lt;/math&amp;gt;，则&amp;lt;math&amp;gt;Seq(\alpha)=T(S&#039;(\alpha_1),S&#039;(\alpha_2),\cdots,S&#039;(\alpha_n))&amp;lt;/math&amp;gt;，其中&amp;lt;math&amp;gt;T&amp;lt;/math&amp;gt;为序列的拼合，而如果&amp;lt;math&amp;gt;Seq(\alpha)=(a_1,a_2,\cdots,a_k)&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;S&#039;(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;定义为&amp;lt;math&amp;gt;(0,a_1+1,a_2+1,\cdots,a_k+1)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
我们给出几个引理：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;引理1&#039;&#039;&#039;  如果&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;gt;\alpha\geq\beta&amp;lt;/math&amp;gt;，则按字典序&amp;lt;math&amp;gt;Seq(\alpha)\geq{Seq(\beta)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;引理2&#039;&#039;&#039;  &amp;lt;math&amp;gt;Seq(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;是 PrSS 的规范式。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;引理3&#039;&#039;&#039;  &amp;lt;math&amp;gt;F(Seq(\alpha))=\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;引理4&#039;&#039;&#039;  &amp;lt;math&amp;gt;Seq(F(S))=S&amp;lt;/math&amp;gt;，其中&amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt;为 PrSS 规范式&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;引理1的证明&#039;&#039;&#039;  取出所有有序对&amp;lt;math&amp;gt;(\alpha,\beta)&amp;lt;/math&amp;gt;使&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;gt;\alpha&amp;gt;\beta&amp;lt;/math&amp;gt;但按字典序&amp;lt;math&amp;gt;Seq(\alpha)\leq{Seq(\beta)}&amp;lt;/math&amp;gt;，取出其中&amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;最小的一组。写出它们的康托范式：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\alpha=\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_p}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;\beta=\omega^{\beta_1}+\omega^{\beta_2}+\omega^{\beta_3}+\cdots +\omega^{\beta_q}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
则以下两点成立其一：&lt;br /&gt;
# 存在某个&amp;lt;math&amp;gt;i\leq{min\{p,q\}}&amp;lt;/math&amp;gt;使&amp;lt;math&amp;gt;\alpha_i&amp;gt;\beta_i&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
# &amp;lt;math&amp;gt;q&amp;lt;p&amp;lt;/math&amp;gt;，且对于所有&amp;lt;math&amp;gt;i\leq{q}&amp;lt;/math&amp;gt;有&amp;lt;math&amp;gt;\alpha_i=\beta_i&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于前者，由于&amp;lt;math&amp;gt;\alpha_i&amp;lt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;，根据&amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;的最小性，字典序下&amp;lt;math&amp;gt;Seq(\alpha_i)&amp;gt;Seq(\beta_i)&amp;lt;/math&amp;gt;，根据定义，字典序下&amp;lt;math&amp;gt;Seq(\alpha)&amp;gt;Seq(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt;，矛盾。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
对于后者，易知&amp;lt;math&amp;gt;Seq(\beta_i)&amp;lt;/math&amp;gt;是&amp;lt;math&amp;gt;Seq(\alpha_i)&amp;lt;/math&amp;gt;删去后面数项得到的子序列。故字典序下&amp;lt;math&amp;gt;Seq(\alpha)&amp;gt;Seq(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt;，矛盾。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
因此，这样的有序对&amp;lt;math&amp;gt;(\alpha,\beta)&amp;lt;/math&amp;gt;不存在，所以如果&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;gt;\alpha\geq\beta&amp;lt;/math&amp;gt;，则按字典序&amp;lt;math&amp;gt;Seq(\alpha)\geq{Seq(\beta)}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
又如果&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;gt;\alpha=\beta&amp;lt;/math&amp;gt;，则按字典序&amp;lt;math&amp;gt;Seq(\alpha)=Seq(\beta)&amp;lt;/math&amp;gt;。于是引理1得证。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;引理2的证明&#039;&#039;&#039;  设&amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt;是最小使得&amp;lt;math&amp;gt;Seq(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;不是 PrSS 的规范式的序数。设它的康托范式为&amp;lt;math&amp;gt;\alpha=\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_n}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
(1) 若&amp;lt;math&amp;gt;n=1&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\alpha=\omega^{\alpha_1}&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;Seq(\alpha)=S&#039;(\alpha_1)&amp;lt;/math&amp;gt;。根据定义，&amp;lt;math&amp;gt;Seq(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;是 PrSS 的规范式当且仅当&amp;lt;math&amp;gt;Seq(\alpha_1)&amp;lt;/math&amp;gt;是 PrSS 的规范式，而&amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1&amp;lt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;，根据最小性，&amp;lt;math&amp;gt;Seq(\alpha_1)&amp;lt;/math&amp;gt;是 PrSS 的规范式，故&amp;lt;math&amp;gt;Seq(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;也是 PrSS 的规范式，矛盾。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
(2) 若&amp;lt;math&amp;gt;n&amp;gt;1&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;\alpha=\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_n}&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;Seq(\alpha)=T(S&#039;(\alpha_1),S&#039;(\alpha_2),\cdots,S&#039;(\alpha_n))&amp;lt;/math&amp;gt;。根据定义，&amp;lt;math&amp;gt;Seq(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;是 PrSS 的规范式当且仅当每个&amp;lt;math&amp;gt;Seq(\alpha_k)&amp;lt;/math&amp;gt;均是 PrSS 的规范式且&amp;lt;math&amp;gt;Seq(\alpha_k)&amp;lt;/math&amp;gt;的字典序不增，&amp;lt;math&amp;gt;k=1,2,\cdots,n&amp;lt;/math&amp;gt;。前者是显然的(类似于上文的(1)部分)，而后者由&amp;lt;math&amp;gt;\alpha_1\geq\alpha_2\geq\cdots\alpha_n&amp;lt;/math&amp;gt;和引理1保证。于是&amp;lt;math&amp;gt;Seq(\alpha)&amp;lt;/math&amp;gt;是 PrSS 的规范式，矛盾。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
故这样的&amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt;不存在。引理2得证。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;引理3的证明&#039;&#039;&#039;  设&amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt;是最小的不满足&amp;lt;math&amp;gt;F(Seq(\alpha))=\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;的序数。它的康托范式为&amp;lt;math&amp;gt;\alpha=\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_n}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
则有&amp;lt;math&amp;gt;Seq(\alpha)=T(S&#039;(\alpha_1),S&#039;(\alpha_2),\cdots,S&#039;(\alpha_n))&amp;lt;/math&amp;gt;。根据定义，&amp;lt;math&amp;gt;F(T(S&#039;(\alpha_1),S&#039;(\alpha_2),\cdots,S&#039;(\alpha_n)))=F(S&#039;(\alpha_1))+F(S&#039;(\alpha_2))+\cdots+F(S&#039;(\alpha_n))=\omega^{F(Seq(\alpha_1))}+\omega^{F(Seq(\alpha_2))}+\cdots+\omega^{F(Seq(\alpha_n))}&amp;lt;/math&amp;gt;，而&amp;lt;math&amp;gt;\alpha_k&amp;lt;\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;k=1,2,\cdots,n&amp;lt;/math&amp;gt;，根据最小性，&amp;lt;math&amp;gt;F(Seq(\alpha_k))=\alpha_k&amp;lt;/math&amp;gt;，故&amp;lt;math&amp;gt;F(T(S&#039;(\alpha_1),S&#039;(\alpha_2),\cdots,S&#039;(\alpha_n)))=\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_n}=\alpha&amp;lt;/math&amp;gt;。矛盾。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
故这样的&amp;lt;math&amp;gt;\alpha&amp;lt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt;不存在。引理3得证。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;引理4的证明&#039;&#039;&#039;  若对于某个 PrSS 规范式&amp;lt;math&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt;有&amp;lt;math&amp;gt;Seq(F(S))&amp;gt;S&amp;lt;/math&amp;gt;，则由引理1得&amp;lt;math&amp;gt;F(Seq(F(S))&amp;gt;F(S)&amp;lt;/math&amp;gt;，由引理3得&amp;lt;math&amp;gt;F(S)&amp;gt;F(S)&amp;lt;/math&amp;gt;，矛盾。同理，&amp;lt;math&amp;gt;Seq(F(S))&amp;lt;S&amp;lt;/math&amp;gt;则&amp;lt;math&amp;gt;F(S)&amp;lt;F(S)&amp;lt;/math&amp;gt;，矛盾。故&amp;lt;math&amp;gt;Seq(F(S))=S&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;定理的证明&#039;&#039;&#039;  由引理1~4，&amp;lt;math&amp;gt;F&amp;lt;/math&amp;gt;有逆映射&amp;lt;math&amp;gt;Seq&amp;lt;/math&amp;gt;，且&amp;lt;math&amp;gt;Seq&amp;lt;/math&amp;gt;保序。于是&amp;lt;math&amp;gt;Seq&amp;lt;/math&amp;gt;(和其逆&amp;lt;math&amp;gt;F&amp;lt;/math&amp;gt;)是 PrSS 标准式集与&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_0&amp;lt;/math&amp;gt;之间的序同构。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
证毕。&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[分类:集合论相关]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=%E8%AE%B0%E5%8F%B7%E5%B1%95%E5%BC%80%E5%99%A8&amp;diff=2685</id>
		<title>记号展开器</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=%E8%AE%B0%E5%8F%B7%E5%B1%95%E5%BC%80%E5%99%A8&amp;diff=2685"/>
		<updated>2026-02-20T08:11:49Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;[https://hypcos.github.io/notation-explorer/ NE]包含了许多常见记号的展开器。&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
以下网址也包含了一些记号的展开器，各有不同，请依据实际情况使用：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[https://0y.googology.top 0-Y展开器(带山脉图)，i0-Y(测试性)]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[https://solarzone1010.github.io/ SSO内的BMS分析仪，cOCF及HSPN展开器，TONF及GON浏览器等]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[https://gyafun.jp/ln/basmat.cgi Bashicu矩阵计算器]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[https://waffle3z.github.io/notations/ BMS、Y序列、HPrSS、LPrSS、BrSS浏览器等]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[https://fghdisplayer.onrender.com/ LVO内韦伯伦函数的FGH及基本列展开]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[https://naruyoko.github.io/googology/ Y和ω-Y序列的展开和山脉图绘制、BMS的展开过程演示等]&amp;lt;br /&amp;gt;&lt;br /&gt;
[https://koteitan.github.io/BeklemishevsWorms/ worm序列辅助展开程序]&lt;br /&gt;
[https://gomen520.github.io/ X-Y展开程序]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>0100000000a7</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2670</id>
		<title>PPS</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="http://wiki.googology.top/index.php?title=PPS&amp;diff=2670"/>
		<updated>2026-02-20T06:37:52Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;0100000000a7：​添加对良序极限的说明&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&#039;&#039;&#039;Parented Predecessor Sequence(PPS)&#039;&#039;&#039;是由3184创造的一个序列记号，其父项定位方式是[[项定位方式#2.标记父项位置|标记父项位置]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS有着较为简单的定义，但分析它却极为复杂和困难。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年8月，PPS2被发现[[无穷降链]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2025年12月10日，PPS1被发现无穷降链。所有PPS衍生物亦未能幸免。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截止到2026年2月20日，目前PPS的已知良序极限为0,1,0,2,2,0,5,2,0,8,8,6,0,12,8,6,0,16,16,15,0,16,16,15,0,15,0,26,26,15,0,26,26,13,8,6,0,15,0,38,38,15,0,38,38,13,6,2,0,8,6,0,51,51,50,0,51,51,50,0,50,0,61,61,50,0,61,61,0,6,0,70,8,6,0,74,74,73,0,74,74,73,0,73,0,84,84,73,0,84,84,71,8,6,0,73,0,96,96,73,0,96,96,71,6,0,105,105,0,108,108,0,111,111,0,114,114,0,117,117,...&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
后续phyrion在圣诞节前连夜修改了10+个版本，亦未能避免无穷降链，不过受部分启发提出了[[PRRS]]。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
前排提示：PPS的行为极其复杂，是标准的“果糕“记号&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 定义 ===&lt;br /&gt;
以下为PPS1的定义。PPS2和PPS3的问题较为明显且未能修改PPS1的不足之处，因此不在此给出定义。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS是形如0,1,0,3这样用逗号分隔的序列（序列首项是第1项）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
极限表达式：0,1,2,3,4,5,......&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
记末项的值为x，坏根为第x项，坏根的值为b，末项是序列中的第y项，并令L=y-x&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
展开：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1.如果末项是0，则它是后继序数&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2.末项之前的部分保持不变&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
3.替换末项：如果末项和坏根之间(两边都不含)存在一项，它的值等于b，那么将末项的值换成b；否则将末项的值减1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4.递归生成其他项(第i+L项的值由第i项确定)：对任意的i&amp;gt;x，如果第i项的值大于等于x，那么第i+L项的值等于第i项的值+L，否则第i+L项的值等于第i项的值&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
5.基本列[n]为展开到第y+n*L-1项&lt;br /&gt;
=== 分析 ===&lt;br /&gt;
另见[[PPS分析]]&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
PPS的分析是极为困难的，即便是一些分析力很强的googologist，如mtl、zcmx，都曾在PPS上折戟。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
=== 地府段 ===&lt;br /&gt;
PPS有部分从表达式上看差距不大，但分析却极为困难且需要大量篇幅的段落，它们被称为地府段，简称地府。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第一部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10 ====&lt;br /&gt;
[[文件:pcf 25-07-22.jpg|缩略图|2025年7月22日，来自PCF]]&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10是地府的第一层。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
它们分别对应序数&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}\times 2}}}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
和&amp;lt;math&amp;gt;\varepsilon_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\varepsilon_0}+1}}}}}&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
几位扽西力较强的gggist合力也用了近五天才把它扽出来。在分析表格中，它们占用了超过两百行。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
==== 第二部分：0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10 ====&lt;br /&gt;
0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,9 ~ 0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10是地府的第二层。这之间还有不计其数的地府第一层的结构。分析它更是难上加难，&#039;&#039;&#039;四百行&#039;&#039;&#039;扽西也仅仅只能在第二层地府中踏出小而无力的一步。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
截至目前，我们仍未得知0,1,0,2,0,4,4,3,0,4,3,0,11,10,0,0,10,0,17,10对应哪个序数，不过根据Phyrion的猜测，它有可能&amp;lt;math&amp;gt;\ge \zeta_0&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{默认排序:序数记号}}&lt;br /&gt;
[[分类:记号]]&lt;/div&gt;</summary>
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