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哈基米基数

2026-03-03T14:10:29Z

虚妄之幻：创建页面，内容为“哈基米基数是虚妄之幻在2026年提出的一个大基数概念，并随后拥有了其与ZFC的相对一致性证明。我们依照以下定义基数k上的k共尾完备滤子：一个基数k上的滤子是k-共尾完备的，当且仅当：k是可数共尾的且该滤子是一个σ-完备滤子，或者k是不可数共尾的且对于任意a＜cf(k)，集族{Xb:b∈a}如果是滤子F的子集，那么它的交集属于F 我们称一个基数k是哈…”

哈基米基数是虚妄之幻在2026年提出的一个大基数概念，并随后拥有了其与ZFC的相对一致性证明。

我们依照以下定义基数k上的k共尾完备滤子：一个基数k上的滤子是k-共尾完备的，当且仅当：k是可数共尾的且该滤子是一个σ-完备滤子，或者k是不可数共尾的且对于任意a＜cf(k)，集族{Xb:b∈a}如果是滤子F的子集，那么它的交集属于F

我们称一个基数k是哈基米基数，当且仅当，k上存在一个k共尾完备非主超滤且存在初等嵌入j：L_k→L_2^k

(ZFC+存在可测基数)引理：存在哈基米基数

证明如下：我们引用以下定理：如果存在ramsey基数，那么如果k和λ是不可数基数，则(Lk,∈)是(Lλ,∈)的初等子模型

由于如果存在可测基数，那么存在一个ramsey基数。然后平凡的，可测基数上存在一个k共尾完备非主超滤，因为可测基数k与2^k都是不可数基数，显然依照该引理，k是一个哈基米基数，得证。

目前猜测其一致性上界可以被削弱到ZFC+存在一个ramsey基数，但尚未给出完整证明...
[[分类:集合论相关]]

滤子

2026-03-03T13:40:29Z

虚妄之幻：

'''滤子'''是一类常见的集合论对象，在多个非集合论强相关的数学领域也多有应用（但也可能是它的对偶，即[[理想]]）。

== 定义 ==

我们称对于一个集合<math>S</math>而言，作为<math>P(S)</math>子集的<math>F</math>是<math>S</math>上的一个'''滤子'''，当且仅当：

# <math>\emptyset \notin F</math>且<math>S \in F</math>
# 如果<math>A \in F</math>且<math>A</math>是<math>B</math>的子集，那么<math>B \in F</math>
# 如果<math>A</math>，<math>B \in F</math>，则<math>A \cap B \in F</math>

这就是滤子的所有要求。

== 类型 ==

对于一个<math>S</math>上滤子<math>F</math>，如果存在一个<math>S</math>的非空子集<math>C</math>使得任意<math>X \in F</math>而言，<math>C</math>是<math>X</math>的子集，那么我们称<math>F</math>是一个'''主滤子'''。反之，则称其是一个'''非主滤子'''。

下面我们举出一个经典非主滤子的例子：

frechet滤子(余有限滤子)：
对于一个无穷集合<math>S</math>,集合<math>F=\{X\text{是}S\text{的子集}:S-X\text{是有限集}\}</math>是<math>S</math>上的一个'''frechet滤子'''，并且它是非主的。

一个滤子<math>F</math>被称为'''超滤'''，当且仅当对于任意<math>S</math>的子集<math>X</math>而言，要么<math>X \in F</math>,要么<math>S-X \in F</math>.

同时，一个滤子<math>F</math>是'''极大的'''，当且仅当不存在<math>S</math>上滤子<math>F_1</math>使得<math>F</math>是<math>F_1</math>的子集。

可以证明，极大滤子和超滤是等价的。

== 性质 ==

由此，我们有了以下的引理：

'''引理1 (tarski)'''：任何一个滤子都能被扩张为一个超滤。

证明：我们考虑一个集合<math>S</math>上包含起始滤子<math>F</math>的全体滤子构成的[[良序#偏序集|偏序集]]<math>A</math>，使得子集关系成为其上的偏序。现在，考虑任何一条滤子之间构成的子集链<math>\langle F_n : n \in \text{ord} \rangle</math>

我们可以验证，任何一个滤子之间构成的子集链的并也是一个滤子，那么它应该也是<math>A</math>的元素。那么，这也就是在说，任何<math>A</math>上这个子集偏序的链都有上界。由zorn引理，<math>A</math>存在极大元<math>U</math>，那么它应该是一个极大滤子，则它是一个超滤，得证。
[[分类:集合论相关]]

滤子

2026-02-25T09:42:05Z

虚妄之幻：filter第一部分

滤子是一类常见的集合论对象，在多个非集合论强相关的数学领域也多有应用（但也可能是它的对偶，即理想）

我们称对于一个集合S而言，作为P(S)子集的F是S上的一个滤子，当且仅当：

1.∅∉F且S∈F

2.如果A∈F且A是B的子集，那么B∈F

3.如果A，B∈F，则A∩B∈F

这就是滤子的所有要求。

对于一个S上滤子F，如果存在一个S的非空子集C使得任意X∈F而言，C是X的子集，那么我们称F是一个主滤子。反之，则称其是一个非主滤子

下面我们举出一个经典非主滤子的例子：frechet滤子(余有限滤子)：对于一个无穷集合S,集合F={X是S的子集：S-X是有限集}是S上的一个frechet滤子，并且它是非主的。

一个滤子F被称为超滤，当且仅当对于任意S的子集X而言，要么X∈F,要么S-X∈F。

同时，一个滤子F是极大的，当且仅当不存在S上滤子F1使得F是F1的子集

可以证明，极大滤子和超滤是等价的

由此，我们有了以下的引理：

lemma1 :(tarski)任何一个滤子都能被扩张为一个超滤

证明如下:我们考虑一个集合S上包含起始滤子F的全体滤子构成的偏序集A，使得子集关系成为其上的偏序。现在，考虑任何一条滤子之间构成的子集链<F_n:n∈ord>

我们可以验证，任何一个滤子之间构成的子集链的并也是一个滤子，那么它应该也是A的元素。那么，这也就是在说，任何A上这个子集偏序的链都有上界。由zorn引理，A存在极大元U，那么它应该是一个极大滤子，则它是一个超滤，得证。

CKO

2026-02-21T14:55:48Z

虚妄之幻：

'''CKO（Church-Kleene Ordinal）'''，是[[序数#递归序数|可数递归序数]]的上确界。

=== 定义 ===
Church-Kleene 序数，记作 <math>\omega_1^{\rm CK}</math>，是可计算序数（computable ordinals）的上确界。具体来说，它是在可计算[[良序]]（computable well-orderings）的序型（order types）集合中的上确界。

==== 形式化定义 ====
设 <math>\mathrm{O}</math> 是所有可计算良序的序型构成的集合。即，若 <math>\prec</math> 是一个可计算关系（存在一个[[忙碌海狸函数#图灵机|图灵机]]可以判定对于任意的 <math>x,y</math>，是否有 <math>x\prec y</math>），且 <math>(A,\prec)</math> 是一个[[良序#良序集|良序集]]（well-ordered set），其中 <math>A\subseteq\mathrm{N}</math>，则该良序的序型 <math>\operatorname{otype}(A,\prec)\in\mathrm{O}</math>。那么，

<math>\omega_1^{\rm CK}=\sup\{\operatorname{otype}(A,\prec):(A,\prec)\text{ 是可计算良序}\}</math>

=== 性质 ===
不可递归枚举性：不存在一个图灵机可以枚举出所有小于 <math>\omega_1^{\rm CK}</math> 的可计算序数。换句话说，集合 <math>\{\alpha<\omega_1^{\rm CK}:\alpha\text{ 是可计算序数}\}</math> 不是递归可枚举的。这是因为如果存在这样的图灵机，我们可以利用它构造出一个更大的可计算序数，从而与 <math>\omega_1^{\rm CK}</math> 是可计算序数的上确界这一性质矛盾。

不可超递归性：<math>\omega_1^{\rm CK}</math> 本身不是可计算序数。因为如果 <math>\omega_1^{\rm CK}</math> 是可计算的，那么我们可以构造出一个可计算良序，其序型大于 <math>\omega_1^{\rm CK}</math>（通过在已有的可计算良序基础上进行适当的扩展），这与 <math>\omega_1^{\rm CK}</math> 的定义矛盾。

在可计算分析中，<math>\omega_1^{\rm CK}</math> 是超穷归纳原理（transfinite induction）在可计算结构上能够有效应用的最大序数。对于任何小于 <math>\omega_1^{\rm CK}</math> 的序数 <math>\alpha</math>，我们可以在可计算的意义下对序型为 <math>\alpha</math> 的良序进行归纳。但对于 <math>\omega_1^{\rm CK}</math> 本身，不存在这样的可计算归纳过程。

<math>\omega_1^{\rm CK}</math> 与算术层次（arithmetic hierarchy）有着密切的联系。可计算序数可以看作是在算术可定义性框架内能够构造和研究的序数。<math>\omega_1^{\rm CK}</math>的存在表明，在算术可定义性的范围内，序数的研究有一个自然的界限。具体来说，<math>\omega_1^{\rm CK}</math> 是 <math>\Delta_1^1</math> 完备的，这意味着它是所有 <math>\Delta_1^1</math> 集合中序型最大的元素（在序数的序关系下），并且任何 <math>\Delta_1^1</math> 集合的序型都小于 <math>\omega_1^{\rm CK}</math>。

==== 可计算函数 ====
存在某种算法（如图灵机、λ演算、递归函数等）能在有限步骤内计算出结果的函数。所有可计算函数的集合构成“可计算域”。

Church-Kleene 序数是递归序数的“顶”，但本身不属于递归序数：

* 递归序数是“可构造”的：通过递归函数能定义其良序关系，因此它们与可计算性直接相关（可被算法部分描述）。
* <math>\omega_1^{\rm CK}</math> 是递归序数的最小上界，但它本身不可计算：无法用递归函数完全定义其[[良序]]。

==== 不可计算函数 ====
不存在任何算法能在有限步骤内计算其结果的函数。典型例子是停机问题判定函数（无法通过算法判断任意程序是否会停止）。

==== 递归函数 ====
递归函数是计算理论中一类通过规则构造的函数，分为两类：

* 原始递归函数：由初始函数（零函数、后继函数、投影函数）通过“组合”和“原始递归”运算构造的函数。所有原始递归函数都是可计算的，但覆盖范围有限（如阿克曼函数虽可计算，却非原始递归）。
* 一般递归函数：在原始递归函数基础上引入“最小数算子（μ算子）”，允许通过“搜索最小自然数满足条件”的方式定义函数。一般递归函数与图灵可计算函数等价，即所有一般递归函数都是可计算的，且所有可计算函数都可表示为一般递归函数。因此，可计算函数等价于一般递归函数（在算法等价性下）。

=== 历史背景 ===
Church-Kleene 序数得名于数学家 Alonzo Church 和 Stephen Cole Kleene。他们在 20 世纪 30 年代和 40 年代对递归函数理论和可计算性进行了深入研究，提出了许多重要的概念和结果，其中包括可计算序数和 Kleene 的 O 记号系统。<math>\omega_1^{\rm CK}</math> 的概念为递归理论和可计算分析提供了一个重要的界限和基准，使得研究人员能够更清晰地划分可计算和不可计算的对象在序数结构中的位置。

[[分类:集合论相关]]
[[分类:序数]]

FUO

2026-02-21T14:51:10Z

虚妄之幻：修正用词

在集合论中，<math>\omega_1</math>（First Uncountable Ordinal，FUO）表示第一个[[序数#可数序数与不可数序数|不可数序数]]，即所有可数序数的最小上界。它是[[序数]]的[[良序]]集合，其元素为所有与自然数集序型相同的可数良序集。作为序数，<math>\omega_1</math> 本身是不可数的，其基数为 <math>\aleph_1</math>，即第一个不可数基数。在 [[ZFC公理体系|ZFC 公理体系]]下，<math>\omega_1</math> 与 <math>\aleph_1</math> 等价，因为每个序数的基数等于其序型。

=== 性质 ===

# 正则性：<math>\omega_1</math> 是正则基数，即它不能表示为比它小的基数的并，这一性质在 ZFC 中成立
# 闭无界子集：<math>\omega_1</math> 的任何闭无界子集的基数仍为 <math>\aleph_1</math>，而任何无界子集（不包含上限的子集）的基数可能为 <math>\aleph_0</math> 或 <math>\aleph_1</math>

Fodor 引理：对任何从 <math>\omega_1</math> 到自身的回归函数（即满足 <math>f(\alpha)<\alpha</math> 的函数），存在一个不动点 <math>\beta<\omega_1</math> 和一个驻集 <math>S\subseteq\omega_1</math>，使得对所有 <math>\alpha\in S</math>，<math>f(\alpha)=\beta</math>。

[[分类:序数]]
[[分类:集合论相关]]

马洛基数

2025-09-08T11:12:13Z

虚妄之幻：证明

前置知识：我们称一个序数a是一个序数集B上的极限点，当且仅当，sup(a∩B)=a

我们称一个正则不可数基数k的子集C是无界闭的，当且仅当sup(C)=k且任何一个C上小于k的极限点都是C的元素

我们称一个正则不可数基数k的子集S是驻集，当且仅当S与k上任意无界闭子集所交非空

一个基数k是马洛/强马洛的，当且仅当它是一个强不可达基数且k下方的全体正则基数构成k的驻集

称一个基数k上弱马洛的，当且仅当它是一个弱不可达基数且k下方弱不可达基数构成它的驻集

弱马洛有一个等价定义：k是一个弱不可达基数且其下弱不可达基数构成它的驻集

证明：

等效的，强马洛也有这样的等价定义

证明：强马洛⇔强不可达+下方强不可达构成驻集

1.强马洛k推强不可达+下方强不可达构成驻集

考虑强马洛基数k，首先其是强不可达。假设存在一个无界闭子集C⊂k使得C不包含任意一个强不可达基数，则考虑全体k下任意除N0外强极限基数组成的子集与它的交集，这也是一个无界闭子集(因为C中任意正则基数都不是强极限基数)，然而它与k下方正则基数无交，矛盾

2.强不可达+下方强不可达构成驻集→强马洛

证：显然，由于强不可达基数都是正则基数，所以任何一个无界闭子集中都一定包含一个正则基数(也就是被包含的强不可达基数)，因此得证
[[分类:集合论相关]]

马洛基数

2025-09-08T09:36:02Z

虚妄之幻：马洛

Hybrid Prss

2025-08-21T16:45:12Z

虚妄之幻：

'''Hybrid Prss（HBprss 1.1）'''是一种[[Beklemishev's_Worm|Worm]]型[[序数记号]]。

=== 定义 ===
一个'''合法的''' HBprss 表达式是以 1 开头的有限长[[序数#有限序数|正整数]]序列，即形如

<math>a_1,a_2,\cdots,a_n|n,a_1,a_2,\cdots,a_n\in\N,a_1=1</math>

的序列。

例如：<math>1,4,6,4</math>和<math>1,1,4,5,1,4</math>都是合法的 HBprss 表达式，而<math>1,2,\pi</math>和<math>2,2,2</math>不是。

=== 展开方法 ===

任意 HBprss 序列后加上一个新项 1 表示原序列对应的[[序数]]加一。

==== 阶差序列 ====

* 若阶差序列最后一项为 1，原式按照 [[初等序列系统|PrSS]] 展开。
* 当阶差序列最后一项与其父项差距为1，则原式按照 [[长初等序列|LPrSS]] 规则展开。
* 当阶差序列最后一项 b+n 与其父项 b 差距为 n，继续取阶差序列直到阶差序列末项与父项差为 1，然后逐层按照 [[0-Y]] 展开。

==== 特殊情况 ====
当表达式形如 <math>1,n+1</math>，则展开为 <math>1,n,n^2,n^3,\cdots</math>

如果第 <math>a</math> 项和次项差值值为 <math>n</math>，且序列第二项为 <math>m</math>，那么，下一项的阶差序列的值应该被限制在 <math>n\cdot m</math> 以及之下。

特殊情况举例：

* <math>1,4=1,3,9,27,81,\cdots</math>
* <math>1,3=1,2,4,8,16,\cdots</math>

==== 极限 ====
HBprss的极限表达式为 <math>1,\omega</math>.

目前情况：Hybrid Prss已经被发现无穷降链，本记号作废

=== 分析 ===
* <math>1,2,3,4,\cdots=1,2,4</math>
* <math>1,2,4,2,4=\varepsilon_0\cdot \varepsilon_0</math>
* <math>1,2,4,3=\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}</math>
* <math>1,2,4,3,5=\omega^{\omega^{\varepsilon_0\cdot 2}}</math>
* <math>1,2,4,4=1,2,4,3,5,4,6,...=\varepsilon_1</math>
* <math>1,2,4,5=\varepsilon_\omega</math>
* <math>1,2,4,6=\varepsilon _{\varepsilon _{0}}</math>
* <math>1,2,4,6,4,6=\varepsilon _{\varepsilon _{0}\cdot 2}</math>
* <math>1,2,4,6,5,7=\varepsilon _{\omega^{\varepsilon _{0}+\varepsilon _{0}}}</math>
* <math>1,2,4,6,6=\varepsilon _{\varepsilon _{1}}</math>
* <math>1,2,4,6,7=\varepsilon _{\varepsilon _{\omega}}</math>
* <math>1,2,4,6,8=\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{0}}}</math>
* <math>1,2,4,6,8,8=\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon _{1}}}</math>
* <math>1,2,4,7=\zeta _{0}</math>
* <math>1,2,4,7,5=\varepsilon _{\zeta _{0}+\zeta _{0}}</math>
* <math>1,2,4,7,5=\varepsilon _{\omega^{\zeta _{0}+1}}</math>
* <math>1,2,4,7,5,8=\varepsilon _{\omega^{\zeta _{0}\cdot 2}}</math>
* <math>1,2,4,7,6=\varepsilon _{\varepsilon _{\zeta _{0}+1}}</math>
* <math>1,2,4,7,6,9=\varepsilon _{\varepsilon _{\zeta _{0}\cdot 2}}</math>
* <math>1,2,4,7,6,9,7=\varepsilon _{\varepsilon _{\omega^{\zeta _{0}+1}}}</math>
* <math>1,2,4,7,6,9,8=\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\zeta _{0}+1}}}</math>
* <math>1,2,4,7,7=\zeta _{1}</math>
* <math>1,2,4,7,9=\zeta _{\varepsilon _{0}}</math>
* <math>1,2,4,7,10=\zeta _{\zeta _{0}}</math>
* <math>1,2,4,7,10,8=\zeta _{\zeta _{0}\cdot \omega}</math>
* <math>1,2,4,7,10,9=\zeta _{\varepsilon _{\zeta _{0}+1}}</math>
* <math>1,2,4,7,10,10=\zeta _{\zeta _{1}}</math>
* <math>1,2,4,7,10,11=\zeta _{\zeta _{\omega}}</math>
* <math>1,2,4,7,10,13=\zeta _{\zeta _{\zeta _{0}}}</math>
* <math>1,2,4,7,11=\eta_{0}</math>
* <math>1,2,4,8=\mathrm{HCO}=\varphi (\omega,0)</math>
* <math>1,2,4,8,2,4,8=\psi (\Omega^\omega)^2</math>
* <math>1,2,4,8,3=\psi (\Omega^\omega)^\omega</math>
* <math>1,2,4,8,4=\psi (\Omega^\omega+1)</math>
* <math>1,2,4,8,4,8=\psi (\Omega^\omega+\psi (\Omega^\omega))</math>
* <math>1,2,4,8,5=\psi (\Omega^\omega+\omega^{\psi (\Omega^\omega)+1)}</math>
* <math>1,2,4,8,5,9=\psi (\Omega^\omega+\omega^{\psi (\Omega^\omega)\cdot 2)}</math>
* <math>1,2,4,8,6=\psi (\Omega^\omega+\psi (\Omega^\omega+1))</math>
* <math>1,2,4,8,6,10=\psi (\Omega^\omega+\psi (\Omega^\omega+\psi (\Omega^\omega)))</math>
* <math>1,2,4,8,6,10,8=\psi (\Omega^\omega+\psi (\Omega^\omega+\psi (\Omega^\omega+1)))</math>
* <math>1,2,4,8,6,10,8,12=\psi (\Omega^\omega+\psi (\Omega^\omega+\psi (\Omega^\omega+\psi (\Omega^\omega))))</math>
* <math>1,2,4,8,7=\psi (\Omega^\omega+\Omega)</math>
* <math>1,2,4,8,7,9=\psi (\Omega^\omega+\Omega\cdot \psi (\Omega))</math>
* <math>1,2,4,8,7,11=\psi (\Omega^\omega+\Omega\cdot \psi (\Omega^\omega))</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,9=\psi (\Omega^\omega+\Omega\cdot \psi (\Omega^\omega+1))</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,9,13=\psi (\Omega^\omega+\Omega\cdot \psi (\Omega^\omega+\psi (\Omega^\omega)))</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,9,13,11=\psi (\Omega^\omega+\Omega\cdot \psi (\Omega^\omega+\psi (\Omega^\omega+1)))</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,10=\psi (\Omega^\omega+\Omega\cdot \psi (\Omega^\omega+\Omega))</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,10,14=\psi (\Omega^\omega+\Omega\cdot \psi (\Omega^\omega+\Omega\cdot \psi (\Omega^\omega)))</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,11=\psi (\Omega^\omega+\Omega^2)</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,11,7,11,11=\psi (\Omega^\omega+\Omega^2+\Omega\cdot \psi (\Omega^\omega+\Omega^2))</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,11,9=\psi (\Omega^\omega+\Omega^2+\Omega\cdot \psi (\Omega^\omega+\Omega^2+1))</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,11,9,13,13=\psi (\Omega^\omega+\Omega^2+\Omega\cdot \psi (\Omega^\omega+\Omega^2+\psi (\Omega^\omega+\Omega^2)))</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,11,10,14,14=\psi (\Omega^\omega+\Omega^2+\Omega\cdot \psi (\Omega^\omega+\Omega^2+\Omega\cdot \psi (\Omega^\omega+\Omega^2)))</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,11,11=\psi (\Omega^\omega+\Omega^2\cdot 2)</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,12=\psi (\Omega^\omega+\Omega^2\cdot \omega)</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,13=\psi (\Omega^\omega+\Omega^2\cdot \psi (\Omega))</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,15,15=\psi (\Omega^\omega+\Omega^2\cdot \psi (\Omega^\omega+\Omega^2))</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,15,15,15=\psi (\Omega^\omega+\Omega^3)</math>
* <math>1,2,4,8,7,11,16=\psi (\Omega^\omega\cdot 2)</math>

{{默认排序:个人记号}}
[[分类:记号]]

不可达基数

2025-08-20T04:56:00Z

虚妄之幻：

不可达基数是指既是正则基数，又是强极限基数的不可数基数。

正则基数，强极限基数和不可数基数的定义见[[基数]]条目

不可达基数是一类大基数，它的一致性足够强以至于去证明一些ZFC公理体系无法证明的命题

像是某些特殊的数学结构，例如格罗滕迪克宇宙，其基底需要ZFC+存在一个不可达基数来保证

不可达基数的存在性独立于 ZFC 公理系统，见[[不可达基数的独立性]]。

不可达基数的相关结论:如果存在不可达基数k，则V_k|=存在ZFC的可数模型

若存在不可达基数k，则{a<k:(V_a,∈)初等嵌入(V_k,∈)}构成k的无界闭子集

若k是不可达基数，则k在任何ZFC的模型中都是不可达基数

...

不可达基数的独立性

2025-08-15T10:08:59Z

虚妄之幻：独立性证明

本篇文章在ZFC+“对于任何基数，都存在一个其后的不可达基数”环境下工作，以证明“存在一个不可达基数”这个命题独立于ZFC

由tarski给出的不可达基数公理，考虑第一个不可达基数k，则Vk|=ZFC

引理：若k是不可达基数，则V_k|=ZFC

证明：外延公理：Vk的元素都是集合，所有它们自然满足外延

配对公理：对于任意a，b∈Vk，我们都可以找到a，b∈某个Va，则｛a，b｝∈V_a+1⊂V，所以自然满足

分离公理模式：对于任意a∈Vk，我们都可以得到它是某个V_a+1的元素，则任意z∈a都是V_a的元素，a的任意子集应该都是V_a+1的元素，所以自然满足

正则公理模式：考虑任意非空集S∈Vk，以及任意x∈S，因为S可以确定其中任意元素的rank，所以取S中rank最低的元素x(由于ord上存在一个良序，所以任意序数类的子类都有这个良序的最小元，rank是序数，取全体S中元素的rank序数构成一个类即可)，则不存在y∈S使得y∈x，否则y的rank应该低于x，矛盾，所以存在x∈S使得x∩S为空，得以证明

幂集公理：由前面可得任意x∈Va(a＜k)，任意x的子集都在Va中，则P(x)∈V_a+1

并集公理：考虑任意x∈Va(a＜k)而言，它们的任意元素u都在某个Vb(b＜a)中，任意u的元素都在某个Vc(c＜b)中，则V_c+1中存在x的并集

无穷公理：ω是Vk的元素

替代公理模式：由k是不可达得到k是beth不动点，则k=|Vk|，则对于任意X∈Va(a＜k)，则对于任意映射f：X→A，A⊂Vk，则|A|≤|X|＜|Vk|，所以存在某个b使得不存在A的元素属于Vb，则A是Vb的元素，则A∈Vk

选择公理：任意a=｛a_n：n∈b｝∈Vk，则a∈Vc(c＜k)，则存在某个Vd(d＜c)包含的任意a_n的元素，则一定存在一个集合使得它是Ua_n：n∈b的子集，得证

进一步可以得到Vk|=ZFC+不存在不可达基数，考虑第二个不可达基数y则可以得到Vy|=ZFC+存在一个不可达基数

于是，得证：命题“存在一个不可达基数”独立于ZFC
[[分类:集合论相关]]
[[分类:证明]]

良基宇宙等同于集论全域的证明

2025-08-15T09:51:12Z

虚妄之幻：

由[[ZFC公理体系#正则公理|正则公理]]，我们可以得到

引理1：任何非空类都有 <math>\in</math> 关系上的最小元

证明：取任意 <math>S \in C</math>。如果 <math>S \cap C = \emptyset</math>，则 <math>S </math> 是 <math>C</math> 上最小元；如果 <math>S \cap C </math> 不为 <math>\emptyset</math>，则我们让 <math>X = T \cap C</math>，其中 <math>T=\mathcal{TC}(S)</math> （ <math>\mathcal{TC}(S)</math> 表示 <math>S</math> 的[[传递闭包]]）。 <math>X</math> 是非空集并根据正则公理，有 <math>x \in X</math>，使得 <math>x \cap X = \emptyset </math>。由此可见， <math>x \cap C = \emptyset</math>；否则，如果 <math>y \in x</math> 并且 <math>y \in C</math>，则 <math>y \in T</math>，由 <math>T</math> 是[[传递集|传递的]]，因此 <math>y \in x \cap T \cap C = x \cap X</math>。因此 <math>x</math> 是 <math>C</math> 上 <math>\in</math> 关系最小元。

定理：对于任何集合 <math>x</math>，都存在一个[[序数]] <math>\alpha</math> 使得 <math>x\in V_{\alpha}</math>

证明：使用反证法，考虑全体不属于某个 <math>V_{\alpha}</math> 的集合组成的非空类 <math>C</math>，由引理1， <math>C</math> 有 <math>\in</math> 关系上的最小元 <math>x</math>，则对于任意 <math>\beta \in x</math>，存在 <math>\alpha</math> 使得 <math>\beta \in V_{\alpha}</math>

所以对于任意 <math>\beta \in x</math>， <math>\beta \in \mathrm{WF}</math>，所以 <math>x</math> 是 <math>\mathrm{WF}</math> 的子类。因为 <math>x</math> 是个集合（所以不存在从 <math>x</math> 到 <math>\mathrm{Ord}</math> 的满射，所以存在某个序数 <math>\gamma</math> 使得 <math>\gamma</math> 和 <math>x</math> 之间存在双射，所以 <math>x</math> 是 <math>V_{\gamma}</math> 的子集），所以存在某个 <math>V_{\alpha}</math> 使得 <math>x</math> 是 <math>V_{\alpha}</math> 的子集，则 <math>x\in V_{\alpha+1}</math>，矛盾，所以 <math>C</math> 为空，得证。
[[分类:集合论相关]]
[[分类:证明]]

良基宇宙等同于集论全域的证明

2025-08-04T07:40:33Z

虚妄之幻：V=WF

首先我们定义一个集合S的传递闭包T为T=∩{R：S是R的子集且R是传递的}

由正则公理，我们可以得到

引理1：任何非空类都有∈关系上的最小元

证明：取任意S ∈ C 。如果 S ∩ C = ∅，则 S 是C上最小元;如果 S ∩ C 不为 ∅，则我们让 X = T ∩ C，其中 T = TC（S）（TC（S）表示S的传递必报）。X 是非空集并根据正则公理，有 x ∈ X，使得 x ∩ X = ∅。由此可见，x ∩ C = ∅;否则，如果 y ∈ x 并且 y ∈ C，则 y ∈ T，由T 是传递的，因此 y ∈ x ∩ T ∩ C = x ∩ X。因此 x 是C上∈关系最小元

定理：对于任何集合x，都存在一个序数a使得x∈V_a

证明：使用反证法，考虑全体不属于某个V_a的集合组成的非空类C，由引理1，C有∈关系上的最小元x，则对于任意b∈x，存在a使得b∈V_a

所以对于任意b∈x，b∈WF，所以x是WF的子类。因为x是个集合（所以不存在从x到ord的满射，所以存在某个序数y使得y和x之间存在双射，所以x是V_y的子集），所以存在某个Va使得x是Va的子集，则x∈V_a+1，矛盾，所以C为空，得证。

基数

2025-07-29T06:14:26Z

虚妄之幻：额外定理

'''基数'''<ref>冯琦. 集合论导引[M]. 北京: 科学出版社, 2019.</ref>是一类特殊的[[序数]]。

==== 定义 ====

我们说两个集合 <math>A,B</math> '''等势'''，当且仅当在它们之间存在一个'''双射（一一对应）'''，记为 <math>|A|=|B|</math>。

对于任意一个序数 <math>\alpha</math> 而言，<math>\alpha</math> 的'''势'''，记为 <math>|\alpha|</math>，是与 <math>\alpha</math> 等势的最小序数，即

* <math>|\alpha| = min\{\beta \leq \alpha\ |\ |\alpha|=|\beta|\}</math>

一个序数 <math>\alpha</math> 是'''基数'''，当且仅当 <math>\alpha=|\alpha|</math>。

==== 基数上的序关系 ====

基数的'''序'''被定义为如下形式

<math>|X| \leq |Y|</math>，如果存在一个单射自 <math>X</math> 到 <math>Y</math>

我们同样可以定义严格序

<math>|X| < |Y|</math> 表示 <math>|X| \leq |Y|</math> 且 <math>|X| \neq |Y|</math>

例：

<math>|A|<|\mathfrak{P}(A)|=|\{\emptyset,\{\emptyset\}\}^{A}|</math>

==== 有限基数和无穷基数（超限基数） ====
<math>\forall n \in \omega(n=|n|)</math>，这意味着所有的自然数 <math>n</math> 都是一个基数。

从而，我们称呼一个集合 <math>X</math> 的基数是有限的，当且仅当存在一个自然数 <math>n \in \mathbb{N}</math> 使得 <math>|X|=|n|=n</math>

此时我们称呼 <math>X</math> 是有 <math>n</math> 个元素的。'''有限基数'''即全体自然数。

若一个基数不是有限的，则我们称它为'''无穷基数（超限基数）'''。

==== 极限基数和后继基数 ====

一个基数 <math>k</math> 是一个'''后继基数'''，当且仅当存在一个基数 <math>\lambda</math>，使得 <math>k</math> 是最小的大于 <math>\lambda</math> 的基数，此时也称 <math>k</math>为<math>\lambda</math> 的基数后继。

一个基数 <math>k</math> 是一个'''极限基数'''，当且仅当对于任意 <math>\lambda < k</math>，<math>\lambda</math> 的基数后继也小于 <math>k</math>。

有以下定理：
# 若一个[[序数#有限序数与超限序数|无穷序数]]是基数，我们便称之为'''阿列夫数'''；
# <math>\aleph_{0} = \omega = |\omega|</math>，<math>\omega</math>是第一个无穷基数；
# <math>\aleph_{1} = \omega_{1} = |\omega_{1}|</math>，<math>\omega_{1}</math>是第一个不可数基数。
# 第一个不可数的极限基数为<math>\aleph_{\omega}</math>

由此我们定义阿列夫数的递增序列

* <math>\aleph_{0}=\omega</math>
* <math>\aleph_{\alpha+1}=\omega_{\alpha+1}=\aleph_{\alpha}</math> 的基数后继
* <math>\aleph_{\gamma}\text{(}\gamma\text{是非零极限序数)}=\bigcup\{\omega_{\alpha}|\alpha<\gamma\}</math>

我们称一个基数为 <math>\aleph_{0}</math> 的无穷集合是'''可数的（countable）'''，一个基数不为 <math>\aleph_{0}</math> 的无穷集合是'''不可数的（uncountable）。'''

==== 基数的运算 ====

我们依赖集合的基本运算，来定义基数的运算。

对于两个基数 <math>a,b</math>，有两个基数分别为 <math>a,b</math> 且'''互不相交'''的集合 <math>A,B</math>，有

* <math>a+b=|A\cup B|</math>
* <math>a\cdot b=|A\times B|</math>
* <math>a^{b}=|A^{B}|</math>

其中 <math>A^{B}</math> 表示全体从 <math>B</math> 到 <math>A</math> 的映射所构成的集合。

基数有以下的运算规律：

对于任意基数 <math>a,b,c</math>，有：
* <math>a+b=b+a</math>;
* <math>a\cdot b=b\cdot a</math>;
* <math>a+(b+c)=(a+b)+c</math>;
* <math>a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c</math>;
* <math>(a\cdot b)^{c}=a^{c}\cdot b^{c}</math>;
* <math>a^{b+c}=a^{c}\cdot a^{b}</math>;
* <math>(a^b)^{c}=a^{b\cdot c}</math>;
* 如果 <math>a\leq b</math>，那么 <math>a^{c}\leq b^{c}</math>;
* 如果 <math>0<b\leq a</math>，那么 <math>c^{b}\leq c^{a}</math>;
* <math>a^{0}=1, 1^{b}=b</math>，若 c 非空，<math>0^{c}=0</math>.

基数有如下定理：
* <math>\aleph_{\alpha} \cdot \aleph_{\alpha} = \aleph_{\alpha}</math>
* <math>\aleph_{\alpha}+\aleph_{\beta}=\aleph_{\alpha}\cdot \aleph_{\beta} = max\{\aleph_{\alpha},\aleph_{\beta}\}</math>

==== 共尾度 ====

对于一个[[良序]]集合 <math>(W,<)</math> 而言，我们称序数 <math>\alpha</math> 为它的长度或者序型，记成 <math>\alpha=ot(W,<)</math>，当且仅当它与 <math>(\alpha,<)</math> 同构。

设 <math>\alpha</math> 是一个非零[[序数#极限序数|极限序数]]，<math>\alpha</math> 的'''共尾度'''，记为 <math>\mathrm{cf}(\alpha)</math>，由以下等式定义：
* <math>\mathrm{cf}(\alpha)=min\{ot(A,<)|A\subseteq \alpha \and \forall \beta(\beta < \alpha \rightarrow \exist \gamma(\gamma \in A\and \beta < \gamma))\}</math>

即，<math>\mathrm{cf}(\alpha)</math> 是 <math>\alpha</math> 的最短的无界子集的长度。

设 <math>\alpha \geq \gamma \geq \omega</math> 为两个极限序数，那么以下三个命题等价：
# <math>\gamma=\mathrm{cf}(\alpha)</math>
# 存在从 <math>\gamma</math> 到 <math>\alpha</math> 的无界单增映射，并且对于任何一个 <math>\eta<\gamma</math>，任意一个从 <math>\eta</math> 到 <math>\alpha</math> 上的映射一定在 <math>\alpha</math> 中有界
# <math>\gamma</math> 为最小的序数<math>\beta</math>，使得存在一个严格递增的长度为 <math>\beta</math> 的序数序列 <math>\langle \alpha_{\xi}:\xi<\beta \rangle</math>，<math>\lim_{\xi\to \beta}\ \alpha_{\xi}=\alpha</math>

显然，共尾度是一个极限序数且当 <math>\alpha</math> 为极限序数时它的共尾度是正则的。

一个基数是'''正则的'''当且仅当它的共尾度为自身。一个基数是'''奇异的'''当且仅当它不是正则的。

有如下定理：
* 所有后继基数都是正则基数。
* 所有奇异基数都是极限基数。
有关基数运算的定理：N_a*N_a=N_a

证明：我们如此定义ord^2上的良序

(a,b)<(c,d)当且仅当max{a,b}<max{c,d}

或max等同a<c,但b=d

或max等同a=c，b<d

显然可以发现，它满足不自反，且传递，且任意可比，显然，对于任意ord^2的子类，它都有最小元

我们让t（a,b）={（c,d）:(c,d)<(a,b)}的序型，显然，如果（a,b）<(c,d)，它们的t值也是保序的

注意到T(w*w)=w（取对角线计数）（a*a显然是（0，a）所给的始段）

我们可以注意到这个映射是一对一且保序的，且y（a）=T（a*a）是递增函数

证明：令b为最小的序数使得a=T(a*a)不成立，如果c，d<w_b使得T(b,c)=w_b,令e>c,d,e<w_b则T(e*e)>w_b，所以e*e>=w_b,然而|e|*|e|的基数小于w_b，矛盾，所以不存在b使得w_b*w*b>w_b

==== 参考资料 ====
<references />

[[分类:集合论相关]]

命数定理

2025-07-26T05:55:36Z

虚妄之幻：修正错误

定理1：每个良序集同构于唯一一个序数

引理1：如果对于两个良序集W1，W2，W1同构到W2，则这个同构是唯一的

定义：一个良序集（W,<）根据任意一个W的元素x得到的始段为W(x)={u∈W：u＜x}

引理2：不存在一个良序集同构于它的始段

定理2：对于任何两个良序集W1，W2，只会有以下其中一种情况发生：

1.W1同构于W2的一个始段

2.W2同构于W1的一个始段

3.W1同构于W2

证明:定义f={(x，y)：x∈W1且y∈W2且W1（x）同构于W2（y）}

由引理2，这是一个一对一函数（如果不是，则存在u，y∈W2使得W2（u）同构于W2（y），且u<y，则W2（u）也是W2（y）的始段，由引理2得知矛盾，所以这是一个一对一函数）

对于任意W1元素u<x,W2元素y，且W1(x)同构于W2（y），则W1（u）同构于W2（f（u）），则W2(f(u))是W2（y）的始段，所以f（u）＜y，这个映射是同构

如果range为W2且domain为W1,则这个W1同构于W2

如果domain是W1且range为W2的始段，则W1同构于W2的始段

如果range是W2且domain是W1的始段，则W2同构于W1的始段

（假设最大只存在W1始段A和W2始段B同构，考虑最小的u∈W1使得u不属于A和最小的k∈W2使得k不属于B，显然，由u和k分别生成的始段同构，所以u和k所成的有序对应该是f的元素。然而这与我们的假设相背，所以矛盾）

定理1的证明：由于任意良序集和序数都是良序集，所以对于任意一个良序集W和序数a，如果W同构于a，则W和a的同构也是唯一的（否则，存在a<b或c<a使得a同构于c或者b，由于a<b则a为b始段，c<a则c为a始段，由引理2得到矛盾，所以这个同构唯一)，如果W同构于a的始段，显然W也同构于这个始段对应的序数；如果W的始端同构于a，那么必然存在b>a使得W同构于b，由前面可得同构唯一性

所以，任意良序集同构于唯一一个序数。

命数定理

2025-07-26T03:45:38Z

虚妄之幻：命数定理完整证明

Hybrid Prss

2025-07-26T01:57:30Z

虚妄之幻：Hybrid Prss

Hybrid Prss/HBprss 1.1

检查序列：

Hybrid Prss的合法序列开头必为1，且每一项都是非零自然数，一个合法的表达式是有限长的

任意序列后加上一个新项1表示原序列对应的序数加一

展开方法：

做阶差序列

若阶差序列最后一项为1，原式按照prss展开

当阶差序列最后一项与其父项差距为1，则原式按照lprss规则展开

当阶差序列最后一项b+n与其父项b差距为n，继续取阶差序列直到阶差序列末项与父项差为1，然后逐层按照0-Y展开

特殊情况：当表达式仅仅为1，n+1，则展开为1，n，n^2，n^3，....

如果第a项和次项差值值为n，且序列第二项为m，那么，下一项的阶差序列的值应该被限制在n*m以及之下

特殊情况举例：

1，4=1，3，9，27，81，...

1，3=1，2，4，8，16，...

极限表达式：

1，w

分析

1，2，3，4....=1，2，4

1，2，4，2，4=ε0*ε0

1，2，4，3=ω^ω^ε0+1

1，2，4，3，5=ω^ω^ε0+ε0

1，2，4，4=1，2，4，3，5，4，6，...=ε1

1，2，4，5=εω

1，2，4，6=εε0 1 2 2

1，2，4，6，4，6=ε_（ε0*2）

1，2，4，6，5，7=ε_（ω^（ε0+ε0））

1，2，4，6，6=εε1

1，2，4，6，7=εεω

1，2，4，6，8=εεε0

1，2，4，6，8，8=εεε1

1，2，4，7=ζ0

1，2，4，7，5=ε_ζ0+ζ0

1，2，4，7，5=ε_ω^（ζ0+1）

1，2，4，7，5，8=ε_ω^（ζ0*2）

1，2，4，7，6=ε_εζ0+1

1，2，4，7，6，9=ε_εζ0*2

1，2，4，7，6，9，7=ε_ε_ω^ζ0+1

1，2，4，7，6，9，8=ε_ε_ε_ζ0+1

1，2，4，7，7=ζ1

1，2，4，7，9=ζε0

1，2，4，7，10=ζζ0

1，2，4，7，10，8=ζ_（ζ0*ω）

1，2，4，7，10，9=ζ_εζ0+1

1，2，4，7，10，10=ζ_ζ1

1，2，4，7，10，11=ζ_ζω

1，2，4，7，10，13=ζζζ0

1，2，4，7，11=η0

1，2，4，8=HCO=φ（w，0）

1，2，4，8，2，4，8=ψ（Ω^ω）^2

1，2，4，8，3=ψ（Ω^ω）^ω

1，2，4，8，4=ψ（Ω^ω+1）

1，2，4，8，4，8=ψ（Ω^ω+ψ（Ω^ω））

1，2，4，8，5=ψ（Ω^ω+ω^（ψ（Ω^ω）+1））

1，2，4，8，5，9=ψ（Ω^ω+ω^（ψ（Ω^ω）*2））

1，2，4，8，6=ψ（Ω^ω+ψ（Ω^ω+1））

1，2，4，8，6，10=ψ（Ω^ω+ψ（Ω^ω+ψ（Ω^ω）））

1，2，4，8，6，10，8=ψ（Ω^ω+ψ（Ω^ω+ψ（Ω^ω+1）））

1，2，4，8，6，10，8，12=ψ（Ω^ω+ψ（Ω^ω+ψ（Ω^ω+ψ（Ω^ω））））

1，2，4，8，7=ψ（Ω^ω+Ω）

1，2，4，8，7，9=ψ（Ω^ω+Ω*ψ（Ω））

1，2，4，8，7，11=ψ（Ω^ω+Ω*ψ（Ω^ω））

1，2，4，8，7，11，9=ψ（Ω^ω+Ω*ψ（Ω^ω+1））

1，2，4，8，7，11，9，13=ψ（Ω^ω+Ω*ψ（Ω^ω+ψ（Ω^ω）））

1，2，4，8，7，11，9，13，11=ψ（Ω^ω+Ω*ψ（Ω^ω+ψ（Ω^ω+1）））

1，2，4，8，7，11，10=ψ（Ω^ω+Ω*ψ（Ω^ω+Ω））

1，2，4，8，7，11，10，14=ψ（Ω^ω+Ω*ψ（Ω^ω+Ω*ψ（Ω^ω）））

1，2，4，8，7，11，11=ψ（Ω^ω+Ω^2）

1，2，4，8，7，11，11，7，11，11=ψ（Ω^ω+Ω^2+Ω*ψ（Ω^ω+Ω^2））

1，2，4，8，7，11，11，9=ψ（Ω^ω+Ω^2+Ω*ψ（Ω^ω+Ω^2+1））

1，2，4，8，7，11，11，9，13，13=ψ（Ω^ω+Ω^2+Ω*ψ（Ω^ω+Ω^2+ψ（Ω^ω+Ω^2）））

1，2，4，8，7，11，11，10，14，14=ψ（Ω^ω+Ω^2+Ω*ψ（Ω^ω+Ω^2+Ω*ψ（Ω^ω+Ω^2）））

1，2，4，8，7，11，11，11=ψ（Ω^ω+Ω^2*2）

1，2，4，8，7，11，12=ψ（Ω^ω+Ω^2*ω）

1，2，4，8，7，11，13=ψ（Ω^ω+Ω^2*ψ（Ω））

1，2，4，8，7，11，15，15=ψ（Ω^ω+Ω^2*ψ（Ω^ω+Ω^2））

1，2，4，8，7，11，15，15，15=ψ（Ω^ω+Ω^3）

1，2，4，8，7，11，16=ψ（Ω^ω*2）

Levy 层次结构

2025-07-20T14:48:41Z

虚妄之幻：完整了

我们将ZFC集合论所讨论的一阶公式进行以下的分层

Δ0/Π0/∑0公式：一个拥有的量词唯一且是有界的公式

∑n+1公式：可以写成∃xφ的形式，当φ为Πn公式（可以推广到任意有限多个∃x）

Πn+1公式：可以写成∀xφ的形式，当φ是∑n公式（可以推广到任意有限多个∀x）

我们说一个性质（类，关系）是Πn/∑n的，当且仅当它可以被表示成一个Πn/∑n公式

一个函数F是∑n/Πn的当且仅当关系y=F（x）是∑n/Πn的

一个公式是Δn的当且仅当它即是Πn又是∑n

引理：当n≥1

1.如果P，Q是∑n性质，则∃xP，P∧Q，P∨Q，（∃u∈x）P，（∀u∈x）P都是∑n的

2.如果P，Q是Πn性质，则∀xP，P∧Q，P∨Q，（∃u∈x）P，（∀u∈x）P都是Πn的

3.如果P是∑n的，那么P的反命题是Πn的，如果P是Πn的，P的反命题是∑n的

4.如果P是Πn且Q是∑n公式，则P→Q是∑n公式，P为∑n且Q为Πn的情况下，P→Q是Πn公式

5.如果PQ都是Δn的，那么P的反，P∧Q，P∨Q，P→Q，P⇔Q，（∀u∈x）P，（∃u∈x）P也都是Δn

6.如果F是一个∑n函数，则F的定义域是一个∑n类

7.如果F是一个∑n函数且F的定义域是Δn的，F也是Δn的

8.如果F，G都是∑n函数，它们的复合函数也是∑n函数

9.让F是∑n函数且P是∑n性质，则P（F（x））是∑n的

对于传递模型，Δ0和Δ1公式具有绝对性，这是再说，任一Δ0或Δ1公式在不同的传递模型之间的真值是等同的

我们接着定义∑n初等嵌入

我们说一个模型（M，∈）∑n初等嵌入于模型（N，∈），当且仅当，M⊂N且M和N满足同样的∑n公式

Levy 层次结构

2025-07-20T14:29:12Z

虚妄之幻：初始

我们将ZFC集合论所讨论的一阶公式进行以下的分层

模型

2025-07-18T07:14:35Z

虚妄之幻：初等嵌入

一个给定语言<math>\lambda</math>的模型是一个对<math>(A,I)</math>，其中<math>A</math>为全域/宇宙，<math>I</math>为<math>A</math>上的解释函数，负责把<math>\lambda</math>中的符号映射到A中合适的关系，函数，常元。通常我们将模型写为以下形式

<math>\alpha=(A,P^\alpha,\cdots,F^\alpha,\cdots,c^\alpha)</math>

在中文语境中，语言的模型也被称为数学结构。

我们定义，一个数学结构<math>A</math>满足某个公式<math>\phi(a,b,\cdots)</math>，

当且仅当<math>\phi(a^A,b^B,\cdots)</math>在<math>A</math>中成立。

一个语句集<math>\Sigma</math>的模型，是一个数学结构<math>A</math>，使得其满足这个语句集中的任意一条语句。

== 模型的同构 ==

我们称两个模型<math>A=(\alpha,P^A,\cdots,F^A,\cdots,c^A)</math>，<math>B=(\beta,P^B,\cdots,F^B,\cdots,c^B)</math>是同构的，当且仅当存在一个<math>A</math>到<math>B</math>的一对一函数<math>f</math>使得以下四点成立：

* <math>P^A(x_1,x_2,x_3,\cdots)</math>当且仅当<math>P^B(f(x_1),f(x_2),f(x_3),\cdots)</math>(<math>P</math>为某个<math>n</math>元关系且<math>P^A</math>映射到的对象是<math>P^B</math>)

* <math>f(F^A(x_1,x_2,x_3,\cdots))=F^B(f(x_1),f(x_2),f(x_3),\cdots)</math>

* <math>f(c^A)=c^B</math>

* <math>A\models\phi(a_1,a_2,\cdots)</math>当且仅当<math>B\models\phi(f(a_1),f(a_2),\cdots)</math>

== 子模型 ==
我们称一个模型<math>A=(\alpha,P^A,\cdots,F^A,\cdots,c^A)</math>是模型<math>B=(\beta,P^B,\cdots,F^B,\cdots,c^B)</math>的子模型，当且仅当：

<math>\alpha\subset\beta</math>，<math>P^A\subset{P^B}</math>，<math>F^A\subset{F^B}</math>，<math>c^B\in{A}</math>且<math>A</math>在任意<math>A</math>上函数下封闭。

一个从<math>B</math>到<math>A</math>的嵌入是一个<math>B</math>和<math>A</math>的子模型<math>B_1</math>之间的同构关系。

一个<math>A</math>的子模型<math>B</math>是<math>A</math>的'''初等子模型'''，当且仅当对于任何<math>B</math>中的元素<math>(b_1,b_2,b_3,\cdots)</math>，

<math>B\models\phi(b_1,b_2,b_3,\cdots)</math>当且仅当<math>A\models\phi(b_1,b_2,b_3,\cdots)</math>。

两个模型是'''基本等价'''的，当且仅当它们满足同样的语句(无自由变量的命题)。

一个嵌入被称为初等嵌入，当且仅当当且仅当它是一个嵌入且它的定义域是值域的初等子模型

我们称一个集合X是在模型A上可定义的，当且仅当存在公式φ和变元a_1，a_2，... ∈A使得

X=｛x∈A｜A｜=φ（x，a_1，a_2，...）｝

如果这个公式φ只包含x一个参数，则称X是在A中可定义的

一个元素a∈A是可定义的，当且仅当｛a｝是在A上可定义的

模型

2025-07-18T02:18:38Z

虚妄之幻：子模型

一个给定语言<math>\lambda</math>的模型是一个对<math>(A,I)</math>，其中<math>A</math>为全域/宇宙，<math>I</math>为<math>A</math>上的解释函数，负责把<math>\lambda</math>中的符号映射到A中合适的关系，函数，常元。通常我们将模型写为以下形式

<math>\alpha=(A,P^\alpha,\cdots,F^\alpha,\cdots,c^\alpha)</math>

在中文语境中，语言的模型也被称为数学结构。

我们定义，一个数学结构<math>A</math>满足某个公式<math>\phi(a,b,\cdots)</math>，

当且仅当<math>\phi(a^A,b^B,\cdots)</math>在<math>A</math>中成立。

一个语句集<math>\Sigma</math>的模型，是一个数学结构<math>A</math>，使得其满足这个语句集中的任意一条语句。

== 模型的同构 ==

我们称两个模型<math>A=(\alpha,P^A,\cdots,F^A,\cdots,c^A)</math>，<math>B=(\beta,P^B,\cdots,F^B,\cdots,c^B)</math>是同构的，当且仅当存在一个<math>A</math>到<math>B</math>的一对一函数<math>f</math>使得以下四点成立：

* <math>P^A(x_1,x_2,x_3,\cdots)</math>当且仅当<math>P^B(f(x_1),f(x_2),f(x_3),\cdots)</math>(<math>P</math>为某个<math>n</math>元关系且<math>P^A</math>映射到的对象是<math>P^B</math>)

* <math>f(F^A(x_1,x_2,x_3,\cdots))=F^B(f(x_1),f(x_2),f(x_3),\cdots)</math>

* <math>f(c^A)=c^B</math>

* <math>A\models\phi(a_1,a_2,\cdots)</math>当且仅当<math>B\models\phi(f(a_1),f(a_2),\cdots)</math>
*
*
* 子模型
* 我们称一个模型A=（α，P^A，...F^A...c^a...）是模型B=（β，P^B，...F^B，...c^B...）的子模型，当且仅当α⊂β，P^A⊂P^B，F^A⊂F^B，c^B∈A且A在任意A上函数下封闭
* 一个从B到A的嵌入是一个B和A的子模型B_1之间的同构关系
* 一个A的子模型B是A的初等子模型，当且仅当，对于任何B中的元素（b1，b2，b3，...）
* B｜=φ（b1，b2，b3，...）当且仅当A｜=φ（b1，b2，b3，...）
* 两个模型是基本等价的当且仅当它们满足同样的语句（无自由变量的命题）
*

模型

2025-07-18T01:26:20Z

虚妄之幻：模型的定义

一个给定语言λ的模型是一个对（A，I），其中A为全域/宇宙，I为A上的解释函数，负责把λ中的符号映射到A中合适的关系，函数，常元。通常我们将模型写为以下形式

α=（A，P^α，...，F^α，...，c^α）

在中文语境中，语言的模型也被称为数学结构

我们定义，一个数学结构A满足某个公式φ（a，b，...）

当且仅当φ（a^A，b^B，...）在A中成立

一个语句集∑的模型，是一个数学结构A，使得其满足这个语句集中的任意一条语句

模型的同构

我们称两个模型A=（α，P^A，...F^A....c^A...），B=（β,P^B...F^B...c^B...）是同构的，当且仅当存在一个A到B的一对一函数f使得

P^A（x_1，x_2，x_3，....）当且仅当P^B（f（x_1），f（x_2），f（x_3），...）（P为某个n元关系且P^A映射到的对象是P^B）

f（F^A（x_1，x_2，x_3，...））=F^B（f（x_1），f（x_2），....）

f（c^A）=c^B

且A｜=φ（a1，a2，...）当且仅当B｜=φ（f（a1），f（a2），...）

基数

2025-07-05T13:06:32Z

虚妄之幻：基数运算，共尾度

'''基数'''是一类特殊的[[序数]]。

我们称呼两个集合<math>A,B</math>拥有相同的基数，当且仅当，存在一个一对一函数 <math>f: A \rightarrow B</math>

一个序数 <math>a</math> 是一个基数，当且仅当对于任意 <math>b<a</math> ，都不存在函数 <math>f</math> 使得 <math>f: b \rightarrow a</math> 是一个一对一函数

==== 基数上的序关系 ====

基数的序被定义为如下形式

<math>|X| \leq |Y|</math>

如果存在一个单射自<math>X</math>到<math>Y</math>

我们同样可以定义严格序

<math>|X| < |Y|</math>

表示 <math>|X| \leq |Y|</math> 且 <math>|X| \neq |Y|</math>

==== 有限基数和无穷基数/超限基数 ====

我们称呼一个集合<math>X</math>的基数是有限的，当且仅当存在一个自然数<math>n \in \mathbb{N}</math>使得

<math>|X|=|n|</math>

此时我们称呼<math>X</math>是有<math>n</math>个元素的

我们用自然数来定义有限基数

对于任意 <math>n \in \mathbb{N},|X|=|n|=n</math>

若一个基数不是有限的，则我们称它为'''无穷基数'''/'''超限基数'''

==== 阿列夫数 ====

若一个无穷序数是基数，我们便称之为'''阿列夫数'''

对于任意一个良序集<math>W</math>，它的基数就是最小的一个序数<math>a</math>使得<math>|W|=|a|</math>

序数<math>\omega</math>是最小的一个无穷基数，注意到每一个无穷基数都是极限序数。

==== 极限基数和后继基数 ====

我们称一个基数<math>k</math>是后继基数，当且仅当存在一个基数<math>\lambda</math>，使得<math>k</math>是最小的大于<math>\lambda</math>的基数，此时也称<math>k</math>为<math>\lambda</math>的基数后继

我们称一个基数<math>k</math>是极限基数，当且仅当，对于任意<math>\lambda < k</math>，<math>\lambda</math>的基数后继也小于<math>k</math>

由此我们定义阿列夫数的递增序列

<math>\aleph_{0}=\omega</math>

<math>\aleph_{a+1}=\omega_{a+1}=\aleph_{a}</math>的基数后继

<math>\aleph_{a}\text{(}a\text{是极限序数)}=sup\{\omega_{b}:b<a\}</math>

我们称一个基数为<math>\aleph_{0}</math>的集合是'''可数的（countable）'''，一个基数不为<math>\aleph_{0}</math>的无穷集合是'''不可数的（uncountable）
'''

基数的运算

我们依赖集合的基本运算，来定义基数的运算

对于两个基数a,b，有两个基数分别为a和b 的集合A，B

a+b=|AUB|

a*b=|A*B|

a^b=|A^B|

其中A^B表示全体从B到A的函数所构成的集合

基数有以下的运算规律

基数加法和乘法满足结合律

（a*b）^c=a^c*b^c

a^(b+c)=a^c*a^b

(a^b)^c=a^(b*c)

如果a≤b，那么a^c≤b^c

如果0<b≤a,那么c^b≤c^a

k^0=1,1^k=如果k大于0则^k=0

定理：N_a*N_a=N_a

定理：N_a+N_b or N_a*N_b=max{N_a,N_b}

共尾度

让a为一个非零极限序数，我们称一个递增的b长序列<c_n:n＜b>，其中b为极限序数，是共尾于a的当且仅当lim n→b c_n=a，同样的，一个a的子集A是共尾于a的当且仅当supA=a，当a为极限序数时，最小满足上面要求的b就是a的共尾度，显然，共尾度是一个极限序数且当a为极限序数时它的共尾度是正则的

一个基数是正则的当且仅当它的共尾度为自身

一个基数是奇异的当且仅当它不是正则的

'''[[分类:入门]]'''
[[分类:集合论相关]]

商集

2025-07-05T12:48:38Z

虚妄之幻：商集和划分，无交的定义

一个集合X关于一个在其上的等价关系=的商集被以以下的形式定义

首先，定义X上关于一个元素x和一个等价关系= 的等价类

[x]={y∈X：y=x}

那么X关于=的商集就是

X/= ={[x]：x∈X}

也称这个集合是对X的一种划分

等价的，一种对X的划分也定义了X上的一个等价关系

注意到，X的划分中作为元素的各个等价类是“无交的”，即对于任意x，y∈X/=，x∩Y=空集
[[分类:集合论相关]]

可构造宇宙

2025-07-05T12:34:33Z

虚妄之幻：

可构造宇宙，又称哥德尔的可构造宇宙L，可构造性全域，是哥德尔为了证明命题的一致性问题而提出的一个内模型，其定义如下

设U为传递集，我们称一个U的子集集合A是在结构<U,∈>上可定义的，当且仅当存在一个公式φ（x,a1,a2,a3,...）使得

X={x：<U,∈>满足φ（x,a1,a2,a3,...）}，我们将def（U）表示<U,∈>上全体可定义的子集组成的集合，也称可定义幂集

L_0=空集

L_a+1=def（L_a）

L_a(a为[[极限序数]])=U _b<a Lb

L=U _a∈ord L_a

对于任意集合a,若存在L_b使得a∈L_b，则称a是可构造的

我们可以验证，假设ZF是一致的，那么L是ZF的模型，且是一个真类，且ord是L的子类

L还蕴含V=L即可构造公理，以及选择公理AC和广义连续统假设GCH，并且，L是ZF最小的内模型

[[分类:集合论相关]]

可构造宇宙

2025-07-05T12:32:43Z

虚妄之幻：可构造宇宙

可构造宇宙，又称哥德尔的可构造宇宙L，可构造性全域，是哥德尔为了证明命题的一致性问题而提出的一个内模型，其定义如下

设U为传递集，我们称一个U的子集集合A是在结构<U,∈>上可定义的，当且仅当存在一个公式φ（x,a1,a2,a3,...）使得

X={x：<U,∈>满足φ（x,a1,a2,a3,...）}，我们将def（U）表示<U,∈>上全体可定义的子集组成的集合，也称可定义幂集

L_0=空集

L_a+1=def（L_a）

L_a(a为极限序数)=U _b<a Lb

L=U _a∈ord L_a

对于任意集合a,若存在L_b使得a∈L_b，则称a是可构造的

我们可以验证，假设ZF是一致的，那么L是ZF的模型，且是一个真类，且ord是L的子类

L还蕴含V=L即可构造公理，以及选择公理AC和广义连续统假设GCH，并且，L是ZF最小的内模型

[[分类:集合论相关]]

冯诺依曼宇宙

2025-07-05T12:17:52Z

虚妄之幻：分类与部分描述

冯诺依曼宇宙，即[[良基集|良基集合]]宇宙WF，是冯诺依曼提出的一个由累加层次归纳构建的集论模型.

==== 定义 ====

在[[ZFC公理体系#正则公理|正则公理]]的基础上，冯诺依曼宇宙和集论全域 <math>V=\{x:x=x\}</math> 是一个集论[[模型]]. 我们将<math>V</math>的一个累加层次称为<math>V_{\alpha}</math>，其中<math>\alpha</math>是一个[[序数]]. 有如下定义：

<math>V_0=\emptyset</math>

<math>V_{\alpha+1}=\mathfrak{P}(V_{\alpha})</math>

<math>V_{\alpha}=\cup_{\beta<\alpha}\ V_{\beta}</math>，当 <math>\alpha</math> 是极限序数

<math>V=\cup_{\alpha\in Ord}\ V_{\alpha}</math>

==== 性质 ====

我们可以得出这个模型拥有许多良好的性质，例如

任何一个<math>V_{\alpha}</math>都是一个[[传递集]]，对于任意<math>\alpha</math>，<math>\alpha\subset V_{\alpha}</math>，并且可以根据“任何集合都在V中”这个属性来定义集合的秩（rank）.

冯诺依曼宇宙被认为是集论的“预备模型”，即如果<math>\rm ZFC</math>是一致的，那么<math>V</math>是它的一个模型. <math>V</math>也被称为，集合论宇宙.

<math>V</math>的一些累加层次可以作为[[ZFC公理体系]]的弱化版的模型，例如ZF-INF的模型可以是<math>V_{\omega}</math>，Z的模型可以是<math>V_{\omega\times 2}</math>.
[[分类:集合论相关]]

基数

2025-07-05T12:17:17Z

虚妄之幻：分类

ZFC公理体系

2025-07-05T12:16:51Z

虚妄之幻：改了分类

我们采用以下的 9 条公理、公理模式作为我们所使用的 ZFC 公理体系．

# 外延公理：两个集合 <math>A,B</math> 相等，当且仅当任意 <math>x</math>，有 <math>x \in A</math> 等价于 <math>x \in B</math>．
# 配对公理：对于任意两个集合 <math>A,B</math>，有 <math>\{A,B\}</math> 是一个集合．
# 分离公理模式：对于任意集合 <math>S</math> 和带 <math>n+1</math> 个参数的公式 <math>\phi(x,p_0,p_1,\cdots,p_n)</math>，有 <math>\{x\in S\mid\phi(x,p_0,p_1,\cdots,p_n)\}</math> 是一个集合．
# 并集公理：对于一个集合 <math>S</math> ，存在一个集合 <math>U</math> 使得对任意 <math>x\in S</math> 和任意 <math>y\in x</math>，有 <math>y\in U</math>．
# 幂集公理：对于任意一个集合 <math>S</math>，存在一个集合 <math>U</math> 使得 <math>A\sube S</math> 等价于 <math>A\in U</math>．
# 正则公理：任意一个非空集合 <math>S</math> 上都存在 <math>\in</math> 链最小元，或者换句话说，存在 <math>x\in S</math> 使得 <math>x\cap S=\varnothing</math>．
# 替换公理模式：对于任意一个集合 <math>S</math>，如果存在一个函数 <math>f:S\rightarrow U</math> ，则 <math>f(S)</math> 是一个集合．
# 无穷公理：存在一个集合 <math>S</math> 使得空集是 <math>S</math> 的元素，且对于任意 <math>x\in S</math> 有 <math>x\cup\{x\}\in S</math>．
# 选择公理：对于一族两两不相交的非空集 <math>\{U_i\mid i\in I\}</math>，存在集合 <math>S</math> 使得对任意 <math>i\in I</math> 有 <math>S\cap U_i</math> 是单点集．这里对脚标集 <math>I</math> 没有要求（可以是不可数集）．

我们将去掉第 9 条公理的公理体系称为 ZF，将去掉第 9 条和第 6 条的公理体系称为 ZF-REG，将去掉第 9 条和第 8 条的公理体系称为 ZF-INF，将去掉第 9 条和第 7 条的公理体系称为Z．

ZFC 中的公理之间存在着一定的关系，例如，第 7 条替换公理模式可推第 3 条分离公理模式．

下面我们将给出一些 ZFC 允许的集论操作．

1.并集用符号 <math>\cup</math> 表述．

我们允许任意有穷多集合取并（本质就是将它们纳入一个集合让后对这个集合取它的并集），对于无穷多集合取并，我们在无穷公理和选择公理的帮助下也是能够完成．

2.交集用符号 <math>\cap</math> 表述．

我们允许任意有穷多集合取交（利用分离公理模式），对于无穷多集合取交，我们在无穷公理和选择公理的帮助下也是能够完成．

3.补集/差集．

一个集合 <math>A</math> 关于另一个包含 <math>A</math> 作为子集的集合 <math>S</math> 的补集，即为 <math>B=\{x\in S\mid x\notin A\}</math> ，通过分离公理可以得到．

4.笛卡尔积．

一个集合 <math>A</math> 和一个集合 <math>B</math> 的笛卡尔积 <math>A\times B</math> 被定义为一个新的集合 <math>S=\{(a,b)\mid a\in A\land b\in B\}</math> ，这个 <math>(a,b)</math> 的表示被称为有序对，一个有序对 <math>(a,b)</math> 要求满足： <math>(a,b)=(c,d)</math> 当且仅当 <math>a=c</math> 且 <math>b=d</math>，<math>(a,b)</math> 也可以被集论语言描述为 <math>\{a,\{a,b\}\}</math> ，因此，<math>A\times B</math> 这个笛卡尔积也可以被描述为 <math>A</math> 与 <math>B</math> 的并集取两次幂集之后通过分离公理得到的一个特殊的子集．

<math>n</math> 多元的多元组被描述为以下形式．

* 二元：<math>(a,b)</math>．
* 三元：<math>(a,b,c)=((a,b),c)</math>．
* 四元：<math>(a,b,c,d)=(((a,b),c),d)</math>．

以此类推．

任意有限多集合的笛卡尔积都存在且非空，通过选择公理，我们可以保证，无穷多集合的笛卡尔积也是非空的．<math>A^n</math> 表示 <math>n</math> 个 <math>A</math> 自行相乘得到的笛卡尔积，我们也称呼 <math>A\times B</math> 的一个子集是在 <math>A</math> 和 <math>B</math> 上的一个关系，称 <math>A^n</math> 的一个子集是在 <math>A</math> 上的一个 <math>n</math> 元关系．

函数被我们定义为一种特殊的 <math>n</math> 元关系．

根据笛卡尔积的概念，我们提出了 <math>\operatorname{range}(A)</math> 和 <math>\operatorname{domain}(A)</math> 的概念，其中 <math>A</math> 是一个 <math>n+1</math> 元关系，<math>\operatorname{domain}(A)</math> 是全体前 <math>n</math> 元所构成的集合，<math>\operatorname{range}(A)</math> 是全体最后一元构成的集合，用函数的语言描述就是从作为集合形式的函数上挖掘出了定义域和值域．
[[分类:集合论相关]]

ZFC公理体系

2025-07-03T12:32:30Z

虚妄之幻：更多拓展内容

我们采用以下的9条公理、公理模式作为我们所使用的ZFC公理体系。

# 外延公理：两个集合 <math>A,B</math> 相等，当且仅当任意x， <math>x \in A</math> 等价于 <math>x \in B</math>
# 配对公理：对于任意两个集合 <math>A,B</math> ， <math>\{A,B\}</math> 是一个集合<br />
# 分离公理模式：对于任意集合 <math>S</math> ，和带 <math>n</math> 个参数的公式 <math>\phi (x,p0,p1,p2,p3,\cdots),\{x\in S: \phi(x,p0,p1,\cdots)\}</math> 是一个集合
# 并集公理：对于一个集合 <math>S</math> ，存在一个集合 <math>U</math> 使得任意 <math>x\in S</math> ，任意 <math>y\in x,y\in U</math>
# 幂集公理：对于任意一个集合 <math>S</math> ，存在一个集合 <math>U</math> 使得 <math>A</math> 是 <math>S</math> 的子集等价于 <math>A\in U</math>
# 正则公理：任意一个非空集合 <math>S</math> 上都存在 <math>\in</math> 链最小元，或者换句话说，存在 <math>x\in S</math> 使得 <math>S</math> 非空且 <math>x</math> 交 <math>S</math> 为空
# 替代公理：对于任意一个集合 <math>S</math> ，如果存在一个函数 <math>f:S\rightarrow U</math> ，则 <math>U</math> 是一个集合
# 无穷公理：存在无穷集/存在一个集合 <math>S</math> 使得空集是 <math>S</math> 的元素，且对于任意 <math>x\in S,x\cup\{x\}\in S</math>
# 选择公理：对于任意集合 <math>S</math> ，存在一个选择函数使得 <math>f(S)\in S</math>
我们将去掉第9条公理的公理体系称为ZF,将去掉第9条和第6条的公理体系称为ZF-REG，将去掉第九条和第8条的公理体系称为ZF-INF，将去掉第九条和第7条的公理体系称为Z
ZFC中的公理之间存在着一定的关系，例如，第7条替代公理模式可推第3条分离公理模式。

下面我们将给出一些ZFC允许的集论操作

1.并集用符号U表述

我们允许任意有穷多集合取并（本质就是将它们纳入一个集合让后对这个集合取它的并集），对于无穷多集合取并，我们在无穷公理和选择公理的帮助下也是能够完成

2.交集用符号∩表述

我们允许任意有穷多集合取交（利用分离公理模式），对于无穷多集合取交，我们在无穷公理和选择公理的帮助下也是能够完成

3.补集/差集

一个集合A关于另一个包含A作为子集的集合S的补集，即为B=｛x∈S：x∉A｝，通过分离公理可以得到

4.笛卡尔积

一个集合A和一个集合B的笛卡尔积A*B被定义为一个新的集合S=｛（a，b）：a∈A∧b∈B｝，这个（a，b）的表示被称为有序对，一个有序对（a，b）要求满足：（a，b）=（c，d）当且仅当a=c且b=d，（a，b）也可以被集论语言描述为｛a，｛a，b｝｝，因此，A*B这个笛卡尔积也可以被描述为A与B的并集取两次幂集之后通过分离公理得到的一个特殊的子集

n多元的多元组被描述为以下形式

（a，b）二元

（a，b，c）=（（a，b），c）三元

（a，b，c，d）=（（（a，b），c），d）四元

以此类推

任意有限多集合的笛卡尔积都存在且非空，通过选择公理，我们可以保证，无穷多集合的笛卡尔积也是非空的，A^n表示n个A自行相乘得到的笛卡尔积，我们也称呼A*B的一个子集是在A和B上的一个关系，称A^n的一个子集是在A上的一个n元关系

函数被我们定义为一种特殊的n元关系

根据笛卡尔积的概念，我们提出了range（A）和domain（A）的概念，其中A是一个n+1元关系，domain（A）是全体前n元所构成的集合，range（A）是全体最后一元构成的集合，用函数的语言描述就是从作为集合形式的函数上挖掘出了定义域和值域。

冯诺依曼宇宙

2025-07-03T12:12:24Z

虚妄之幻：冯诺依曼宇宙

冯诺依曼宇宙，即良基集合宇宙WF，是冯诺依曼提出的一个由累加层次归纳构建的集论模型，在正则公理的基础上，冯诺依曼宇宙和集论全域V=｛x：x=x｝是一个模型
我们将V的一个累加层次称为V_a，其中a是一个[[序数]]
V_0=∅
V_a+1=P（V_a）
V_a=U_b＜a Vb，当a是极限序数
V=U_a∈ord Va
我们可以得出这个模型拥有许多良好的性质，例如，任何一个Va都是一个传递集，对于任意a，a⊂Va，并且可以根据“任何集合都在V中”这个属性来定义集合的秩（rank）
冯诺依曼宇宙被认为是集论的“预备模型”，即如果ZFC是一致的，那么V是它的一个模型
V也被称为，集合论宇宙
V的一些累加层次可以作为[[ZFC公理体系]]的弱化版的模型，例如ZF-INF的模型可以是V_ω，Z的模型可以是V_ω*2

ZFC公理体系

2025-07-03T07:49:35Z

虚妄之幻：新的补充

ZFC公理体系

2025-07-01T15:50:13Z

虚妄之幻：ZFC

我们采用以下的9条公理、公理模式作为我们使用的ZFC公理体系

1.外延公理：两个集合A,B相等，当且仅当任意x，x属于A等价于x属于B

2.配对公理：对于任意两个集合A，B，{A,B}是一个集合

3.分离公理模式：对于任意集合S，和带n个参数的公式phi（x，p0,p1,p2,p3,..）,{x∈S：phi（x，p0，p1，...）}是一个集合

4.并集公理：对于一个集合S，存在一个集合U使得任意x∈S，任意y∈x，y∈U

5.幂集公理：对于任意一个集合S，存在一个集合U使得A是S的子集等价于A∈U

6.正则公理：任意一个非空集合S上都存在∈链最小元，或者换句话说，存在x∈S使得S非空且x交S为空

7.替代公理：对于任意一个集合S，如果存在一个函数f:S→U，则U是一个集合

8.无穷公理：存在无穷集/存在一个集合S使得空集是S的元素，且对于任意x∈S,xU{x}∈S

9.选择公理：对于任意集合S，存在一个选择函数使得f（S）∈S

基数

2025-06-29T10:58:11Z

虚妄之幻：阿列夫数，极限与后继基数，有穷基数与无穷基数

基数是一类特殊的序数

我们称呼两个集合A,B拥有相同的基数，当且仅当，存在一个一对一函数f：A→B

一个序数a是一个基数，当且仅当对于任意b＜a，都不存在函数f使得f：b→a是一个一对一函数

基数上的序关系

基数的序被定义为如下形式

|X|≤|Y|

如果存在一个单射自X到Y

我们同样可以定义严格序

|X|＜|Y|

表示|X|≤|Y|且|X|≠|Y|

有限基数和无穷基数/超限基数

我们称呼一个集合X的基数是有限的，当且仅当存在一个自然数n∈N使得

|X|=|n|

此时我们称呼X是有n个元素的

我们用自然数来定义有限基数

对于任意n∈N，|X|=|n|=n

若一个基数不是有限的，则我们称它为无穷基数/超限基数

阿列夫数

若一个无穷序数是基数，我们便称之为阿列夫数

对于任意一个良序集W，它的基数就是最小的一个序数a使得|W|=|a|

序数omega是最小的一个无穷基数，注意到每一个无穷基数都是极限序数。

极限基数和后继基数

我们称一个基数k是后继基数，当且仅当存在一个基数lamda，使得k是最小的大于lamda的基数，此时也称k为lamda的基数后继

我们称一个基数k是极限基数，当且仅当，对于任意lamda＜k，lamda的基数后继也小于k

由此我们定义阿列夫数的递增序列

N0=omega

N_a+1=omega_a+1=N_a的基数后继

N_a(a为极限序数)=sup{omega_b:b＜a}

我们称一个基数为N0的集合是可数的（countable），一个基数不为N0的无穷集合是不可数的（uncountable）

基数

2025-06-29T10:39:17Z

虚妄之幻：基数的定义

基数是一类特殊的序数

我们称呼两个集合A,B拥有相同的基数，当且仅当，存在一个一对一函数f：A→B

一个序数a是一个基数，当且仅当对于任意b＜a，都不存在函数f使得f：b→a是一个一对一函数