http://wiki.googology.top/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=%E7%81%B5%E4%BE%9D Googology Wiki - 用户贡献 [zh-cn] 2026-04-22T17:33:22Z 用户贡献 MediaWiki 1.43.1 http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%88%9D%E7%AD%89%E5%B5%8C%E5%85%A5&diff=1928 初等嵌入 2025-08-16T04:03:38Z <p>灵依：​</p> <hr /> <div>非平凡初等嵌入<br /> <br /> 设M、N为传递类且满足ZF⁻不含幂集公理的ZF<br /> <br /> 映射j:M→N为初等嵌入当且仅当对所有一阶公式φ(x₁,…,xₙ)及所有a₁,…,aₙ∈M都有<br /> <br /> M⊨φ[a₁,…,aₙ]⇔N⊨φ[j(a₁),…,j(aₙ)]<br /> <br /> 该嵌入称为非平凡当且仅当存在x∈M使j(x)≠x<br /> <br /> 临界点<br /> <br /> 对非平凡初等嵌入j:M→N必存在最小序数κ使j(κ)≠κ<br /> <br /> 记crit(j)=κ<br /> <br /> 共尾性<br /> <br /> 嵌入j:M→N称为共尾当且仅当对所有y∈N存在x∈M使y∈j(x)<br /> <br /> 若M满足ZF且N⊆M则任何初等嵌入都是共尾的<br /> <br /> Kunen定理<br /> <br /> 在ZFC框架下不存在非平凡初等嵌入j:V→V其中V为全集<br /> <br /> 更具体地Kunen中证明对任意序数λ不存在非平凡初等嵌入j:V{λ+2}→V{λ+2}使V满足ZFC</div> 灵依 http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%88%9D%E7%AD%89%E5%B5%8C%E5%85%A5&diff=1927 初等嵌入 2025-08-16T04:03:17Z <p>灵依：​</p> <hr /> <div>非平凡初等嵌入</div> 灵依 http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%88%9D%E7%AD%89%E5%B5%8C%E5%85%A5&diff=1926 初等嵌入 2025-08-16T03:56:43Z <p>灵依：​清空全部内容</p> <hr /> <div></div> 灵依 http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%88%9D%E7%AD%89%E5%B5%8C%E5%85%A5&diff=1925 初等嵌入 2025-08-16T03:56:29Z <p>灵依：​</p> <hr /> <div>非平凡初等嵌入<br /> <br /> 设 M、N 为传递类且满足 ZF⁻（不含幂集公理的 ZF）。  <br /> <br /> 称映射 j: M → N 为初等嵌入，当且仅当对任意一阶公式 φ(x₁,…,xₙ) 及任意 a₁,…,aₙ ∈ M，都有  <br /> <br /> $$<br /> <br /> M\models\varphi[a_1,\dots,a_n] \iff N\models\varphi[j(a_1),\dots,j(a_n)].<br /> <br /> $$  <br /> <br /> 若存在 x ∈ M 使 j(x) ≠ x，则称该嵌入为非平凡。<br /> <br /> 临界点<br /> <br /> 对于非平凡初等嵌入 j: M → N，必存在最小序数 κ 使 j(κ) ≠ κ。  <br /> <br /> 记该最小序数为 j 的临界点：  <br /> <br /> $$<br /> <br /> \operatorname{crit}(j)=\kappa.<br /> <br /> $$<br /> <br /> 共尾性<br /> <br /> 称嵌入 j: M → N 为共尾，当且仅当  <br /> <br /> $$<br /> <br /> \forall y\in N,\ \exists x\in M,\ y\in j(x).<br /> <br /> $$  <br /> <br /> 若 M ⊨ ZF 且 N ⊆ M，则任何初等嵌入都是共尾的。<br /> <br /> 一致性（Kunen 定理）<br /> <br /> 在 ZFC（或 AC）框架下，不存在非平凡初等嵌入 j: V → V，其中 V 为全集。  <br /> <br /> 更具体地（Kunen，1971）：对任意序数 λ，不存在非平凡初等嵌入  <br /> <br /> $$<br /> <br /> j: V_{\lambda+2}\to V_{\lambda+2}<br /> <br /> $$  <br /> <br /> 使 V 满足 ZFC。</div> 灵依 http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%88%9D%E7%AD%89%E5%B5%8C%E5%85%A5&diff=1924 初等嵌入 2025-08-16T03:45:25Z <p>灵依：​清空全部内容</p> <hr /> <div></div> 灵依 http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%88%9D%E7%AD%89%E5%B5%8C%E5%85%A5&diff=1923 初等嵌入 2025-08-16T03:43:57Z <p>灵依：​</p> <hr /> <div>非平凡初等嵌入<br /> <br /> 设 M、N 为传递类且满足 ZF⁻（不含幂集公理的 ZF）。  <br /> <br /> 称映射 j: M → N 为初等嵌入，当且仅当对任意一阶公式 φ(x₁,…,xₙ) 及任意 a₁,…,aₙ ∈ M，都有  <br /> <br /> $$<br /> <br /> M\models\varphi[a_1,\dots,a_n] \iff N\models\varphi[j(a_1),\dots,j(a_n)].<br /> <br /> $$  <br /> <br /> 若存在 x ∈ M 使 j(x) ≠ x，则称该嵌入为非平凡。<br /> <br /> 临界点<br /> <br /> 对于非平凡初等嵌入 j: M → N，必存在最小序数 κ 使 j(κ) ≠ κ。  <br /> <br /> 记该最小序数为 j 的临界点：  <br /> <br /> $$<br /> <br /> \operatorname{crit}(j)=\kappa.<br /> <br /> $$<br /> <br /> 共尾性<br /> <br /> 称嵌入 j: M → N 为共尾，当且仅当  <br /> <br /> $$<br /> <br /> \forall y\in N,\ \exists x\in M,\ y\in j(x).<br /> <br /> $$  <br /> <br /> 若 M ⊨ ZF 且 N ⊆ M，则任何初等嵌入都是共尾的。<br /> <br /> 一致性（Kunen 定理）<br /> <br /> 在 ZFC（或 AC）框架下，不存在非平凡初等嵌入 j: V → V，其中 V 为全集。  <br /> <br /> 更具体地（Kunen，1971）：对任意序数 λ，不存在非平凡初等嵌入  <br /> <br /> $$<br /> <br /> j: V_{\lambda+2}\to V_{\lambda+2}<br /> <br /> $$  <br /> <br /> 使 V 满足 ZFC。</div> 灵依 http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%88%9D%E7%AD%89%E5%B5%8C%E5%85%A5&diff=1922 初等嵌入 2025-08-16T03:29:02Z <p>灵依：​清空全部内容</p> <hr /> <div></div> 灵依 http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%88%9D%E7%AD%89%E5%B5%8C%E5%85%A5&diff=1921 初等嵌入 2025-08-16T03:28:25Z <p>灵依：​</p> <hr /> <div>[http://www.w3.org/1998/Math/MathML &lt;nowiki&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot; display=&quot;block&quot;&gt;&lt;/nowiki&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML   &lt;!-- 1. 非平凡初等嵌入 --&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML   &lt;mtable columnalign=&quot;left&quot;&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML     &lt;!-- 标题 --&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML     &lt;mtr&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML       &lt;mtd&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;mstyle mathvariant=&quot;bold&quot; mathsize=&quot;1.2em&quot;&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mtext&gt;非平凡初等嵌入&lt;/mtext&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;/mstyle&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML       &lt;/mtd&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML     &lt;/mtr&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML     &lt;!-- 定义 --&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML     &lt;mtr&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML       &lt;mtd&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;mrow&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mtext&gt;设&lt;/mtext&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mtext&gt;为传递类且满足 ZF⁻；映射&lt;/mtext&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;→&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mtext&gt;称为初等嵌入当且仅当&lt;/mtext&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;/mrow&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;mrow&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;∀&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;φ&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;msub&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;…&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;msub&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;∀&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;…&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;/mrow&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;mrow&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;⊨&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;φ&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;[&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;…&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML &lt;nowiki&gt;          &lt;mo&gt;]&lt;/mo&gt;&lt;/nowiki&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;⇔&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;⊨&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;φ&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;[&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;…&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML &lt;nowiki&gt;          &lt;mo&gt;]&lt;/mo&gt;&lt;/nowiki&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;/mrow&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;mtext&gt;；且称为&lt;/mtext&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;mstyle mathvariant=&quot;bold&quot;&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mtext&gt;非平凡&lt;/mtext&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;/mstyle&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;mtext&gt;当且仅当&lt;/mtext&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;mo&gt;∃&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;mo&gt;≠&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML       &lt;/mtd&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML     &lt;/mtr&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML     &lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mspace height=&quot;0.6em&quot;/&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML     &lt;!-- 2. 临界点 --&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML     &lt;mtr&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML       &lt;mtd&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;mstyle mathvariant=&quot;bold&quot; mathsize=&quot;1.2em&quot;&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mtext&gt;临界点&lt;/mtext&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;/mstyle&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML       &lt;/mtd&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML     &lt;/mtr&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML     &lt;mtr&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML       &lt;mtd&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;mrow&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mtext&gt;对非平凡初等嵌入&lt;/mtext&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;→&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mtext&gt;，存在最小序数&lt;/mtext&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;κ&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mtext&gt;使得&lt;/mtext&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;κ&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;≠&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;κ&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;，记&lt;/mtext&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mtext&gt;crit&lt;/mtext&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;κ&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;/mrow&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML       &lt;/mtd&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML     &lt;/mtr&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML     &lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mspace height=&quot;0.6em&quot;/&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML     &lt;!-- 3. 共尾性 --&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML     &lt;mtr&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML       &lt;mtd&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;mstyle mathvariant=&quot;bold&quot; mathsize=&quot;1.2em&quot;&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mtext&gt;共尾性&lt;/mtext&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;/mstyle&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML       &lt;/mtd&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML     &lt;/mtr&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML     &lt;mtr&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML       &lt;mtd&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;mrow&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mtext&gt;嵌入&lt;/mtext&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;→&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mtext&gt;称为共尾，当且仅当&lt;/mtext&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;∀&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;∃&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;/mrow&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;mtext&gt;若&lt;/mtext&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;⊨&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mtext&gt;ZF&lt;/mtext&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mtext&gt;且&lt;/mtext&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;⊆&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mtext&gt;，则任何初等嵌入都是共尾的&lt;/mtext&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML       &lt;/mtd&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML     &lt;/mtr&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML     &lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mspace height=&quot;0.6em&quot;/&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML     &lt;!-- 4. 一致性（Kunen 定理） --&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML     &lt;mtr&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML       &lt;mtd&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;mstyle mathvariant=&quot;bold&quot; mathsize=&quot;1.2em&quot;&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mtext&gt;一致性&lt;/mtext&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;/mstyle&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML       &lt;/mtd&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML     &lt;/mtr&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML     &lt;mtr&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML       &lt;mtd&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;mrow&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mtext&gt;在 ZFC 中不存在非平凡初等嵌入&lt;/mtext&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;V&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;→&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;V&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;/mrow&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;mrow&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mtext&gt;更具体地（Kunen, 1971）：对任意序数&lt;/mtext&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;λ&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mtext&gt;，不存在非平凡初等嵌入&lt;/mtext&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;msub&gt;&lt;mi&gt;V&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;λ&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mo&gt;→&lt;/mo&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;msub&gt;&lt;mi&gt;V&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;λ&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML           &lt;mtext&gt;。&lt;/mtext&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML         &lt;/mrow&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML       &lt;/mtd&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML     &lt;/mtr&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML   &lt;/mtable&gt;]<br /> <br /> [http://www.w3.org/1998/Math/MathML &lt;nowiki&gt;&lt;/math&gt;&lt;/nowiki&gt;]</div> 灵依 http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%88%9D%E7%AD%89%E5%B5%8C%E5%85%A5&diff=1920 初等嵌入 2025-08-16T03:20:44Z <p>灵依：​清空全部内容</p> <hr /> <div></div> 灵依 http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%88%9D%E7%AD%89%E5%B5%8C%E5%85%A5&diff=1919 初等嵌入 2025-08-16T03:19:49Z <p>灵依：​</p> <hr /> <div>&lt;!DOCTYPE html&gt;<br /> <br /> &lt;html lang=&quot;zh-CN&quot;&gt;<br /> <br /> &lt;head&gt;<br /> <br /> &lt;meta charset=&quot;utf-8&quot;&gt;<br /> <br /> &lt;title&gt;非平凡 — Googology Wiki 编码示例&lt;/title&gt;<br /> <br /> &lt;/head&gt;<br /> <br /> &lt;body&gt;<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;&lt;h1&gt;非平凡（Non-trivial elementary embedding）&lt;/h1&gt;&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> &lt;!-- 统一 MathML 块 --&gt;<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot; display=&quot;block&quot;&gt;&lt;/nowiki&gt;<br /> <br />   &lt;mtable columnalign=&quot;left&quot;&gt;<br /> <br />     &lt;!-- 1. 非平凡初等嵌入 --&gt;<br /> <br />     &lt;mtr&gt;<br /> <br />       &lt;mtd&gt;<br /> <br />         &lt;mstyle mathvariant=&quot;bold&quot;&gt;&lt;mtext&gt;非平凡初等嵌入&lt;/mtext&gt;&lt;/mstyle&gt;<br /> <br />       &lt;/mtd&gt;<br /> <br />     &lt;/mtr&gt;<br /> <br />     &lt;mtr&gt;<br /> <br />       &lt;mtd&gt;<br /> <br />         &lt;mrow&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;设&lt;/mtext&gt;&lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;mtext&gt;为传递类且满足 ZF⁻；映射&lt;/mtext&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;→&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;<br /> <br />         &lt;/mrow&gt;<br /> <br />         &lt;nowiki&gt;&lt;br/&gt;&lt;/nowiki&gt;<br /> <br />         &lt;mrow&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;为初等嵌入当且仅当&lt;/mtext&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;∀&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;φ&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;…&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;及&lt;/mtext&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;…&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;<br /> <br />         &lt;/mrow&gt;<br /> <br />         &lt;nowiki&gt;&lt;br/&gt;&lt;/nowiki&gt;<br /> <br />         &lt;mrow&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;⊨&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;φ&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;[&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;…&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;]&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;⇔&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;⊨&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;φ&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;[&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;…&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;]&lt;/mo&gt;<br /> <br />         &lt;/mrow&gt;<br /> <br />         &lt;nowiki&gt;&lt;br/&gt;&lt;/nowiki&gt;<br /> <br />         &lt;mrow&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;称为非平凡当且仅当&lt;/mtext&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;∃&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;≠&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;<br /> <br />         &lt;/mrow&gt;<br /> <br />       &lt;/mtd&gt;<br /> <br />     &lt;/mtr&gt;<br /> <br />     &lt;!-- 2. 临界点 --&gt;<br /> <br />     &lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mspace height=&quot;0.8em&quot;/&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;<br /> <br />     &lt;mtr&gt;<br /> <br />       &lt;mtd&gt;<br /> <br />         &lt;mstyle mathvariant=&quot;bold&quot;&gt;&lt;mtext&gt;临界点&lt;/mtext&gt;&lt;/mstyle&gt;<br /> <br />       &lt;/mtd&gt;<br /> <br />     &lt;/mtr&gt;<br /> <br />     &lt;mtr&gt;<br /> <br />       &lt;mtd&gt;<br /> <br />         &lt;mrow&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;对非平凡初等嵌入&lt;/mtext&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;→&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;mtext&gt;，存在最小序数&lt;/mtext&gt;&lt;mi&gt;κ&lt;/mi&gt;<br /> <br />         &lt;/mrow&gt;<br /> <br />         &lt;nowiki&gt;&lt;br/&gt;&lt;/nowiki&gt;<br /> <br />         &lt;mrow&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;使得&lt;/mtext&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;κ&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;≠&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;κ&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;；记&lt;/mtext&gt;&lt;mtext&gt;crit&lt;/mtext&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;κ&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;<br /> <br />         &lt;/mrow&gt;<br /> <br />       &lt;/mtd&gt;<br /> <br />     &lt;/mtr&gt;<br /> <br />     &lt;!-- 3. 共尾性 --&gt;<br /> <br />     &lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mspace height=&quot;0.8em&quot;/&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;<br /> <br />     &lt;mtr&gt;<br /> <br />       &lt;mtd&gt;<br /> <br />         &lt;mstyle mathvariant=&quot;bold&quot;&gt;&lt;mtext&gt;共尾性&lt;/mtext&gt;&lt;/mstyle&gt;<br /> <br />       &lt;/mtd&gt;<br /> <br />     &lt;/mtr&gt;<br /> <br />     &lt;mtr&gt;<br /> <br />       &lt;mtd&gt;<br /> <br />         &lt;mrow&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;嵌入&lt;/mtext&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;→&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;mtext&gt;称为共尾，当且仅当&lt;/mtext&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;∀&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;∃&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;<br /> <br />         &lt;/mrow&gt;<br /> <br />         &lt;nowiki&gt;&lt;br/&gt;&lt;/nowiki&gt;<br /> <br />         &lt;mrow&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;若&lt;/mtext&gt;&lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;⊨&lt;/mo&gt;&lt;mtext&gt;ZF&lt;/mtext&gt;&lt;mtext&gt;且&lt;/mtext&gt;&lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;⊆&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;&lt;mtext&gt;，则任何初等嵌入都是共尾的&lt;/mtext&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;<br /> <br />         &lt;/mrow&gt;<br /> <br />       &lt;/mtd&gt;<br /> <br />     &lt;/mtr&gt;<br /> <br />     &lt;!-- 4. 一致性（Kunen 定理） --&gt;<br /> <br />     &lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mspace height=&quot;0.8em&quot;/&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;<br /> <br />     &lt;mtr&gt;<br /> <br />       &lt;mtd&gt;<br /> <br />         &lt;mstyle mathvariant=&quot;bold&quot;&gt;&lt;mtext&gt;一致性（Kunen 定理）&lt;/mtext&gt;&lt;/mstyle&gt;<br /> <br />       &lt;/mtd&gt;<br /> <br />     &lt;/mtr&gt;<br /> <br />     &lt;mtr&gt;<br /> <br />       &lt;mtd&gt;<br /> <br />         &lt;mrow&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;在 ZFC 中不存在非平凡初等嵌入&lt;/mtext&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;V&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;→&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;V&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;<br /> <br />         &lt;/mrow&gt;<br /> <br />         &lt;nowiki&gt;&lt;br/&gt;&lt;/nowiki&gt;<br /> <br />         &lt;mrow&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;更具体地（Kunen, 1971）：对任意序数&lt;/mtext&gt;&lt;mi&gt;λ&lt;/mi&gt;&lt;mtext&gt;，不存在非平凡初等嵌入&lt;/mtext&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;msub&gt;&lt;mi&gt;V&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;λ&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;→&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;msub&gt;&lt;mi&gt;V&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;λ&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;.&lt;/mtext&gt;<br /> <br />         &lt;/mrow&gt;<br /> <br />       &lt;/mtd&gt;<br /> <br />     &lt;/mtr&gt;<br /> <br />   &lt;/mtable&gt;<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;&lt;/math&gt;&lt;/nowiki&gt;<br /> <br /> &lt;/body&gt;<br /> <br /> &lt;/html&gt;</div> 灵依 http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%88%9D%E7%AD%89%E5%B5%8C%E5%85%A5&diff=1918 初等嵌入 2025-08-16T03:19:02Z <p>灵依：​</p> <hr /> <div>&lt;nowiki&gt;&lt;math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot; display=&quot;block&quot;&gt;&lt;/nowiki&gt;</div> 灵依 http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%88%9D%E7%AD%89%E5%B5%8C%E5%85%A5&diff=1917 初等嵌入 2025-08-16T03:13:37Z <p>灵依：​清空全部内容</p> <hr /> <div></div> 灵依 http://wiki.googology.top/index.php?title=%E5%88%9D%E7%AD%89%E5%B5%8C%E5%85%A5&diff=1916 初等嵌入 2025-08-16T03:11:51Z <p>灵依：​创建页面，内容为“ &lt;!-- 1. 非平凡初等嵌入 --&gt;   &lt;mtable columnalign=&quot;left&quot;&gt;     &lt;!-- 标题 --&gt;     &lt;mtr&gt;       &lt;mtd&gt;         &lt;mstyle mathvariant=&quot;bold&quot; mathsize=&quot;1.2em&quot;&gt;           &lt;mtext&gt;非平凡初等嵌入&lt;/mtext&gt;         &lt;/mstyle&gt;       &lt;/mtd&gt;     &lt;/mtr&gt;     &lt;!-- 定义 --&gt;     &lt;mtr&gt;       &lt;mtd&gt;         &lt;mrow&gt;           &lt;mtext&gt;设&lt;/mtext&gt;           &lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;           &lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;           &lt;mi…”</p> <hr /> <div> &lt;!-- 1. 非平凡初等嵌入 --&gt;<br /> <br />   &lt;mtable columnalign=&quot;left&quot;&gt;<br /> <br />     &lt;!-- 标题 --&gt;<br /> <br />     &lt;mtr&gt;<br /> <br />       &lt;mtd&gt;<br /> <br />         &lt;mstyle mathvariant=&quot;bold&quot; mathsize=&quot;1.2em&quot;&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;非平凡初等嵌入&lt;/mtext&gt;<br /> <br />         &lt;/mstyle&gt;<br /> <br />       &lt;/mtd&gt;<br /> <br />     &lt;/mtr&gt;<br /> <br />     &lt;!-- 定义 --&gt;<br /> <br />     &lt;mtr&gt;<br /> <br />       &lt;mtd&gt;<br /> <br />         &lt;mrow&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;设&lt;/mtext&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;为传递类且满足 ZF⁻；映射&lt;/mtext&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;→&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;称为初等嵌入当且仅当&lt;/mtext&gt;<br /> <br />         &lt;/mrow&gt;<br /> <br />         &lt;mrow&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;∀&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;φ&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;msub&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;…&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;msub&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;∀&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;…&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;<br /> <br />         &lt;/mrow&gt;<br /> <br />         &lt;mrow&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;⊨&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;φ&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;[&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;…&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;]&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;⇔&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;⊨&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;φ&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;[&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;…&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;msub&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;]&lt;/mo&gt;<br /> <br />         &lt;/mrow&gt;<br /> <br />         &lt;mtext&gt;；且称为&lt;/mtext&gt;<br /> <br />         &lt;mstyle mathvariant=&quot;bold&quot;&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;非平凡&lt;/mtext&gt;<br /> <br />         &lt;/mstyle&gt;<br /> <br />         &lt;mtext&gt;当且仅当&lt;/mtext&gt;<br /> <br />         &lt;mo&gt;∃&lt;/mo&gt;<br /> <br />         &lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;<br /> <br />         &lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;<br /> <br />         &lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;<br /> <br />         &lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;<br /> <br />         &lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;<br /> <br />         &lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;<br /> <br />         &lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;<br /> <br />         &lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;<br /> <br />         &lt;mo&gt;≠&lt;/mo&gt;<br /> <br />         &lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;<br /> <br />         &lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;<br /> <br />       &lt;/mtd&gt;<br /> <br />     &lt;/mtr&gt;<br /> <br />     &lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mspace height=&quot;0.6em&quot;/&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;<br /> <br />     &lt;!-- 2. 临界点 --&gt;<br /> <br />     &lt;mtr&gt;<br /> <br />       &lt;mtd&gt;<br /> <br />         &lt;mstyle mathvariant=&quot;bold&quot; mathsize=&quot;1.2em&quot;&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;临界点&lt;/mtext&gt;<br /> <br />         &lt;/mstyle&gt;<br /> <br />       &lt;/mtd&gt;<br /> <br />     &lt;/mtr&gt;<br /> <br />     &lt;mtr&gt;<br /> <br />       &lt;mtd&gt;<br /> <br />         &lt;mrow&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;对非平凡初等嵌入&lt;/mtext&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;→&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;，存在最小序数&lt;/mtext&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;κ&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;使得&lt;/mtext&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;κ&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;≠&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;κ&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;，记&lt;/mtext&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;crit&lt;/mtext&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;κ&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;<br /> <br />         &lt;/mrow&gt;<br /> <br />       &lt;/mtd&gt;<br /> <br />     &lt;/mtr&gt;<br /> <br />     &lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mspace height=&quot;0.6em&quot;/&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;<br /> <br />     &lt;!-- 3. 共尾性 --&gt;<br /> <br />     &lt;mtr&gt;<br /> <br />       &lt;mtd&gt;<br /> <br />         &lt;mstyle mathvariant=&quot;bold&quot; mathsize=&quot;1.2em&quot;&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;共尾性&lt;/mtext&gt;<br /> <br />         &lt;/mstyle&gt;<br /> <br />       &lt;/mtd&gt;<br /> <br />     &lt;/mtr&gt;<br /> <br />     &lt;mtr&gt;<br /> <br />       &lt;mtd&gt;<br /> <br />         &lt;mrow&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;嵌入&lt;/mtext&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;→&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;称为共尾，当且仅当&lt;/mtext&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;∀&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;∃&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;∈&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;(&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;)&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;<br /> <br />         &lt;/mrow&gt;<br /> <br />         &lt;mtext&gt;若&lt;/mtext&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;⊨&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;ZF&lt;/mtext&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;且&lt;/mtext&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;⊆&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;，则任何初等嵌入都是共尾的&lt;/mtext&gt;<br /> <br />         &lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;<br /> <br />       &lt;/mtd&gt;<br /> <br />     &lt;/mtr&gt;<br /> <br />     &lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mspace height=&quot;0.6em&quot;/&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;<br /> <br />     &lt;!-- 4. 一致性（Kunen 定理） --&gt;<br /> <br />     &lt;mtr&gt;<br /> <br />       &lt;mtd&gt;<br /> <br />         &lt;mstyle mathvariant=&quot;bold&quot; mathsize=&quot;1.2em&quot;&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;一致性&lt;/mtext&gt;<br /> <br />         &lt;/mstyle&gt;<br /> <br />       &lt;/mtd&gt;<br /> <br />     &lt;/mtr&gt;<br /> <br />     &lt;mtr&gt;<br /> <br />       &lt;mtd&gt;<br /> <br />         &lt;mrow&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;在 ZFC 中不存在非平凡初等嵌入&lt;/mtext&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;V&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;→&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;V&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;<br /> <br />         &lt;/mrow&gt;<br /> <br />         &lt;mrow&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;更具体地（Kunen, 1971）：对任意序数&lt;/mtext&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;λ&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;，不存在非平凡初等嵌入&lt;/mtext&gt;<br /> <br />           &lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;msub&gt;&lt;mi&gt;V&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;λ&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;<br /> <br />           &lt;mo&gt;→&lt;/mo&gt;<br /> <br />           &lt;msub&gt;&lt;mi&gt;V&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;λ&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;<br /> <br />           &lt;mtext&gt;。&lt;/mtext&gt;<br /> <br />         &lt;/mrow&gt;<br /> <br />       &lt;/mtd&gt;<br /> <br />     &lt;/mtr&gt;<br /> <br />   &lt;/mtable&gt;<br /> <br /> &lt;nowiki&gt;&lt;/math&gt;&lt;/nowiki&gt;</div> 灵依