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序数表

2026-07-07T15:22:19Z

某人1234509876：修复SDO、DSO、TSO的括号问题

本条目列举出一些有名字的[[序数]]，它们大多在 [[Googology|googology]] 中具有重大意义。

需要注意的是，它们的命名很多来自 googology 爱好者而非专业数学研究者。

=== 序数表 ===
{| class="wikitable"
|-
! 缩写 !! 英文全称 !! 常规表示方法（[[序数坍缩函数#BOCF|BOCF]] 等） !! [[BMS]] / [[Y序列|Y]]
|-
| [[FTO]]|| First Transfinite Ordinal || <math>\omega</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1)</math>
|-
| [[LAO]]|| Linear Array Ordinal<ref>因为在googology一度经典的线性数阵的极限是它，因此得名</ref>|| <math>\omega^\omega</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1)(2)</math>
|-
| [[SCO]]|| Small Cantor Ordinal || <math>\varphi(1,0)=\varepsilon_0=\psi(\Omega)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1,1)</math>
|-
| [[CO]]|| Cantor Ordinal || <math>\varphi(2,0)=\zeta_0=\psi(\Omega^2)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1,1)(2,1)</math>
|-
|[[LCO]]
|Large Cantor Ordinal
|<math>\varphi(3,0)=\eta_0=\psi(\Omega^3)</math>
|<math>\mathrm{BMS}(0)(1,1)(2,1)(2,1)</math>
|-
| [[HCO]]|| Hyper Cantor Ordinal || <math>\varphi(\omega,0)=\psi(\Omega^\omega)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1,1)(2,1)(3)</math>
|-
| [[FSO]]|| Feferman-Schütte Ordinal || <math>\varphi(1,0,0)=\Gamma_0=\psi(\Omega^\Omega)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1,1)(2,1)(3,1)</math>
|-
|[[ACO]]
|Ackermann Ordinal
|<math>\varphi(1,0,0,0)=\psi(\Omega^{\Omega^2})</math>
|<math>\mathrm{BMS}(0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)</math>
|-
| [[SVO]]|| Small Veblen Ordinal || <math>\psi(\Omega^{\Omega^\omega})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1,1)(2,1)(3,1)(4)</math>
|-
| [[LVO]]|| Large Veblen Ordinal || <math>\psi(\Omega^{\Omega^\Omega})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)</math>
|-
| [[BHO]]|| Bachmann-Howard Ordinal || <math>\psi(\Omega_{2})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1,1)(2,2)</math>
|-
| [[BO]]|| Buchholz's Ordinal || <math>\psi(\Omega_{\omega})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)</math>
|-
|FBLO
|First BMS Lifting Ordinal
|<math>\psi(\Omega_{\omega}^2)</math>
|<math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,1)(1,1,1)</math>
|-
| [[TFBO]]|| Takeuti-Feferman-Buchholz Ordinal || <math>\psi(\Omega_{\omega+1})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,1)(3,2)</math>
|-
| [[BIO]]|| Bird's Ordinal<ref>鸟之数阵第四版的极限是它，因此得名</ref>|| <math>\psi(\Omega_{\Omega})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)</math>
|-
| [[EBO]]|| Extended Buchholz Ordinal || <math>\psi(I)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(2)</math>
|-
| [[JO]]|| Jager's Ordinal || <math>\psi(\Omega_{I+1})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(4,2)</math>
|-
| [[SIO]]|| Small Inaccessible Ordinal || <math>\psi(I_{\omega})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)</math>
|-
| [[MBO]]|| Mutiply Buchholz Ordinal || <math>\psi(I(\omega,0))=\psi(M^\omega)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3)</math>
|-
|[[TBO]]
|Transfinitary Buchholz's Ordinal
|<math>\psi(I(1,0,0))=\psi(M^M)</math>
|<math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1)(2)</math>
|-
| [[SRO]]|| Small Rathjen Ordinal || <math>\psi(\varepsilon_{M+1})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1)(4,2)</math>
|-
| [[SMO]]|| Small Mahlo Ordinal || <math>\psi(M_\omega)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1,1)</math>
|-
|[[SNO]]
|Small 1-Mahlo (N) Ordinal
|<math>\psi(N_\omega)</math>
|<math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1,1)(3,1,1)</math>
|-
| [[RO]]|| Rathjen's Ordinal || <math>\psi(\varepsilon_{K+1})</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(4,1)(5,2)</math>
|-
|[[SKO]]
|Small Weakly Compact (K) Ordinal
|<math>\psi(K_\omega)</math>
|<math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(4,1,1)</math>
|-
|[[DO]]
|Duchhart's Ordinal
|<math>\psi(2 \ \rm{aft} \ 4)</math>
|<math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(4,1,1)(5,1)(6,2)</math>
|-
| [[SSO]]|| Small Stegert Ordinal || <math>\psi(psd.\Pi_{\omega})=\psi(a_2)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,2)</math>
|-
| [[LSO]]|| Large Stegert Ordinal || <math>\psi(\lambda\alpha.(\alpha\times 2)-\Pi_{0})=\psi(a_2^a)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,2)(3,2)(4,1)(2)</math>
|-
|[[APO]]
|Admissible-parameter free effective cardinal Ordinal
|<math>\psi(\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+1})-\Pi_1)=\psi(a_2^{\Omega_{a+1}}+\psi_{a_2}(a_2^{\Omega_{a+1}})\times\omega)</math>
|<math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,2)(3,2)(4,1,1)</math>
|-
| [[BGO]]|| TSS 1st Back Gear Ordinal (CN ggg)<ref>Bashicu对BGO的原定义是BMS(0)(1,1,1)(2,2)。BGO指(0)(1,1,1)(2,2,1)是中文googology社区的重命名</ref>|| <math>\psi(\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+2})-\Pi_{1})=\psi(\Omega_{a_2+1}+\psi_{a_2}(\Omega_{a_2+1})\times\omega)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,2,1)</math>
|-
| [[SDO]]|| Small Dropping Ordinal || <math>\psi(\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha+\omega})-\Pi_{0})=\psi(\Omega_{a_2+1}\times\omega)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,2,1)(3)</math>
|-
| [[LDO]]|| Large Dropping Ordinal || <math>\psi(\lambda\alpha.(\psi_{I_{\alpha+1}}(0))-\Pi_{0})=\psi(\Omega_{a_2+1}\times a_2)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)</math>
|-
|[[DSO]]
|Doubly +1 Stable Ordinal
|<math>\psi(\lambda\alpha.(\lambda\beta.\beta+1-\Pi_0)-\Pi_0)=\psi(a_3) </math>
|<math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,3)</math>
|-
|[[TSO]]
|Triply +1 Stable Ordinal
|<math>\psi(\lambda\alpha.(\lambda\beta.(\lambda\gamma.\gamma+1-\Pi_0)-\Pi_0)-\Pi_0)=\psi(a_4) </math>
|<math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,3,1)(4,4)</math>
|-
| [[LRO|pfec LRO]]|| pfec Large Rathjen Ordinal || <math>\psi(pfec.\omega-\pi-\Pi_{0})=\psi(a_\omega)</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,2,2)</math>
|-
|[[LRO|SBO]]
|Small Bashicu Ordinal
| <math>\psi(pfec.\omega-\pi-\Pi_{0})=\psi(a_\omega) </math>
|<math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,2,2)</math>
|-
|[[方括号稳定|pfec M2O]]
|pfec min Σ<sub>2</sub> Ordinal
|<math>\psi(pfec.\min(a\prec_{\Sigma_1}b\prec_{\Sigma_2}c)) </math>
|<math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,2)(4,2,2)(4,2,1)</math>？
|-
|[[LRO]]
|Large Rathjen Ordinal
|<math>F\cap\omega_1^\text{CK},\theta=\omega </math>
|<math>\leqslant\mathrm{BMS}(0)(1,1,1,1)?</math>
|-
|[[TSSO]] / SSPO
|Trio Sequence System Ordinal / Small Simple Projection Ordinal
|<math>\psi(\omega-\text{proj.})=\psi(\sigma S\times \omega)=\psi(H^\omega)</math>
|<math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1,1)</math>
|-
|[[LSPO]]
|Large Simple Projection Ordinal
|<math>\psi(\min\ \alpha\text{ is }\alpha-\text{proj.})=\psi(\sigma S\times S) </math>
|<math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1)(2)</math>
|-
|[[Q0.5BGO]]
|QSS 0.5th Back Gear Ordinal
|<math>\psi(\psi_S(\sigma S\times S\times \omega+S_2)) </math>
|<math>\rm{BMS}(0)(1,1,1,1)(2,2)</math>
|-
|[[Q1BGO]]
|QSS 1st Back Gear Ordinal
| <math>\psi(\psi_S(\sigma S\times S\times \omega+S_\omega)) </math>
|<math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1,1)(2,2,2)</math>
|-
|[[ESPO]]
|Extend Simple Projection Ordinal
| <math>\psi(\psi_S(\sigma S\times S\times \omega^2)) </math>
|<math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)</math>
|-
|[[BOBO]]
|Big Omega Back Ordinal
| <math>\psi((\omega,0)-P)=\psi(\psi_{H}(H^{H\omega})) </math>
|<math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1,1)(2,2,2,2)</math>
|-
| [[QSSO]]|| Quardo Sequence System Ordinal || <math>\psi(\psi_{H}(H^{H^{\omega}}))</math>|| <math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1,1,1)</math>
|-
|[[TCAO]]
|Trio Comprehension Axiom Ordinal
|<math>\text{PTO}((\Pi_3^1-CA)_0) </math>
|<math>\geqslant\mathrm{BMS}(0)(1,1,1,1,1)</math>
|-
|QiSSO
|Quinto Sequence System Ordinal
| <math>\psi(\psi_{H}(H^{H^{H^{\omega}}}))</math>
|<math>\mathrm{BMS}(0)(1,1,1,1,1,1)</math>
|-
| [[SHO]] / BMO<ref name=":0">SHO,MHO的名字均来自FataliS1024.但原定义的SHO指的是<math>\varepsilon_0</math>,MHO指的是BMS极限。还有一个LHO指<math>\omega -Y</math>极限。但后来不知为何变成了现在的这个版本，而LHO成为了无定义的名字</ref>|| Small Hydra Ordinal / Bashicu Matrix Ordinal || <math>\psi(\psi_{H}(\varepsilon_{H+1}))</math>|| <math>Y(1,3)=\lim(\rm BMS)</math>
|-
|βO
|Beta Universe Ordinal
|<math>\rm PTO(Z_2)</math>
|<math>\geqslant Y(1,3)</math>
|-
| [[ΩSSO]]|| Ω Sequence System Ordinal || <math>\psi(\psi_H(\varphi(\Omega,H+1)))?</math>|| <math>Y(1,3,4,2,5,8,10)</math>
|-
|[[LRPO]]
|Large Right Projection Ordinal
|<math>\psi(\psi_{H}(\varphi(H,1)))?</math>
|<math>Y(1,3,4,2,5,8,10,4,9,14,17,10)</math>
|-
| [[GHO]]|| No-Go Hydra Ordinal<ref>原名Guo bu qu de Hydra Ordinal，但过于口语化和非正式。而这个序数本身确实是一个重要的序数。曹知秋将名字改成了现在的版本</ref>|| <math>\psi(\psi_H(\psi_T(T_2\times 2)))?</math>|| <math>Y(1,3,4,3)</math>
|-
|[[DCO]]
|Difference Catching Ordinal
|<math>\psi(\psi_H(\psi_T(T_2\times\psi_T(T_2^2))))?</math>
|<math>Y(1,3,5)</math>
|-
| [[SYO]]|| Small Yukito Ordinal || <math>\omega \rm{ MN}(0)(,,,1)</math>|| <math>\lim(1-Y)=\omega-Y(1,4)</math>
|-
| [[MHO]] / ωYO<ref name=":0" />|| Medium Hydra Ordinal / ω-Y sequence Ordinal || <math>\omega \rm{2MN}(0)(;1)</math>|| <math>\lim(\omega-Y)</math>
|-
| [[CKO]]|| Church-Kleene Ordinal || <math>\omega_{1}^{\rm CK}</math>
|-
| [[FUO]]|| First Uncountable Ordinal || <math>\omega_{1}</math>||
|}

=== 已弃用(或不常用)序数表 ===
{| class="wikitable"
!缩写
!英文全称
!定义
!大小
!命名者
|-
|SMDO
|Small Multidimensional Ordinal
|<math>\omega^\omega</math>
|<math>(0)(1)(2)</math>
|318`4
|-
|SHO
|Small Hydra Ordinal
|<math>\varepsilon_0=\psi(\Omega)</math>
|<math>(0)(1,1)</math>
|FataliS1024
|-
|ESVO
|Extended Small Veblen Ordinal
|<math>\psi\left(\Omega^{\Omega^{\Omega^{\omega}}}\right)</math>
|<math>(0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5)</math>
|
|-
|ELVO
|Extended Large Veblen Ordinal
|<math>\psi(\Omega\uparrow\uparrow4)</math>
|<math>(0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)</math>
|
|-
|LDO(旧)
|Large Dropping Ordinal
|<math>\psi(\lambda\alpha.(\Omega_{\alpha\times 2})-\Pi_{0})</math>
|<math>(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,1)(2)</math>
|
|-
|EDO
|Extended Dropping Ordinal
|<math>\psi(\lambda\alpha.\psi_{I_{\alpha+1}}(I_{\alpha+1})-\Pi_0)</math>
|<math>(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)</math>
|
|-
|SEIO
|Small Eveog-Imagined Ordinal
|<math>\Sigma_1\text{ adm.}</math>
|
|
|-
|MEIO
|Medium Eveog-Imagined Ordinal
|<math>\Sigma_2\text{ adm.}</math>
|
|
|-
|LEIO
|Large Eveog-Imagined Ordinal
|<math>\Sigma_3\text{ adm.}</math>
|
|
|-
|SOSO
|Second Order Stable Ordinal
|<math>\psi(1-o-\Sigma_2-\text{stb.})</math>
|
|
|-
|EGO
|Eveog's Ordinal
|<math>\psi(\psi_\sigma(\sigma_\omega))</math>
|<math>(0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,2,1)(4)</math>
|
|-
|MHO
|Medium Hydra Ordinal
|<math>\lim({\rm BMS})=\lim(0-Y)</math>
|<math>Y(1,3)</math>
|FataliS1024
|-
|LHO
|Large Hydra Ordinal
|<math>\lim(\omega-Y)</math>
|<math>\Omega-Y(1,3,12)</math>
|FataliS1024
|-
|ZDO
|Zeta Differenciating Ordinal
|<math>\text{FOS911 }\Theta(\zeta_0)</math>
|<math>\Omega-Y(1,3,12)</math>
|
|-
|WYO
|Omega Y Ordinal
|<math>\lim(\Omega-Y)</math>
|<math>\Omega-Y(1,\omega)</math>
|318`4
|-
|EYO
|Extended Y Ordinal
|<math>\text{bFOS }\Theta(\text{BHO})</math>
|<math>\text{bFOS }(0)(1)(\omega)(\varepsilon_0)(\text{BHO})</math>
|318`4
|-
|UCO
|Upgrade Catching Ordinal
|<math>\text{sFOS }\Theta(\text{BHO})</math>
|<math>\text{bFOS }\Theta(\text{BO})</math>
|318`4
|-
|XYO
|Extreme Y Ordinal
|<math>\text{bFOS }\Theta(\text{BO})</math>
|<math>\text{bFOS }(0)(1)(\omega)(\varepsilon_0)(\text{BO})</math>
|318`4
|-
|DMO
|Difference Matrix Ordinal
|<math>\text{sFOS }\Theta(\text{BO})</math>
|<math>\text{bFOS }\Theta(\text{SHO})</math>
|318`4
|-
|GYO / 😰O
|Grand Y-Sequence Ordinal / 😰 Ordinal
|<math>\lim(X-Y)</math>
|<math>\text{sFOS }(0)(1)(\omega)(\varepsilon_0)(\text{SHO})</math>
|318`4
|-
|LDCO
|Large Difference Catching Ordinal
|<math>\text{sFOS }\Theta(\text{SYO})</math>
|<math>\text{b2-FOS }\Theta(\zeta_1)</math>
|318`4
|-
|RHO
|Remaining Hydra Ordinal
|<math>\lim(\text{sFOS})</math>
|<math>\text{b2-FOS }\Theta(\varphi(\omega,0))</math>
|318`4
|-
|WFO
|Omega Fundamental Ordinal
|<math>\lim(\text{Weak 2-FOS})</math>
|<math>\text{b2-FOS }\Theta(\Gamma_0)</math>
|318`4
|-
|TMDO
|Tri-Multidimensional Ordinal
|<math>\text{s2-FOS }\Theta(\varphi(\omega,0))</math>
|<math>\omega2-\text{RD}</math>
|318`4
|-
|ERHO
|Extended Remaining hydra Ordinal
|<math>\lim(\text{b2-FOS})</math>
|<math>\omega2+1-\text{RD}</math>
|318`4
|-
|LMDO
|Large Multidimensional Ordinal
|<math>\lim(\omega-\text{FOS})</math>
|<math>\omega^2-\text{RD}</math>
|318`4
|-
|IFO
|Infintesimal Function Ordinal
|<math>\lim(\text{IFS})</math>
|<math>\varepsilon_0-\text{RD}</math>
|318`4
|-
|WRO
|Omega Remaining Ordinal
|<math>\lim(\text{ROS})</math>
|<math>R\ \Omega-Y</math>
|318`4
|-
|SCLO
|Small Code Lift Ordinal
|<math>\sup(n-\text{code})</math>
|
|
|-
|EHO
|Huge Hydra Ordinal
|<math>\lim(\text{pfffz})</math>
|
|夏夜星空
|-
|ROO
|Remaining Omega Ordinal
|<math>R_\omega\text{ remaining}</math>
|
|318`4
|-
|UHO
|Ultimate Hydra Ordinal
|<math>\lim(\text{RSAM})</math>
|
|夏夜星空
|-
|IHO
|Infinite Hydra Ordinal
|<math>\lim(\text{SAM})</math>
|
|夏夜星空
|}
本表取自 [https://docs.qq.com/sheet/DSnFWckliSU5TTE15 Worldly Sheet]：<blockquote>- （SCO/CO/LCO/HCO）谁起不重要，重要的是这是纪念康托尔的，如果没有他所有gggist今天(甚至永远)都走不到一起”

- 你们怎么把它弄成这样了，至少必要的（比如lim fffz/lim X-Y还是要的吧）

- fffz和X-Y公认理想之前搞这么多名字有什么用

- 不然MHO以上全都写成n-RD？- 不对 - 3184为什么要保留他造了那么多没用的序数缩写的黑历史？(bushi) - 不如还是加上毕竟fatalis的SHO/MHO/LHO都有了</blockquote>

==== DNAO ====
DNAO（Disgusting Nonsense Annoyance Ordinal）

定义：
(0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(3,3,0)(4,4,1)(5,5,2)(6,6,2)(7,7,0)(8,8,1)(9,9,2)(10,9,2)(11,9,0)(12,10,1)(13,11,2)(13,11,2)(13,11,1)(14,12,2)(14,11,1)(15,12,2)(15,11,1)(16,12,0)(17,13,1)(18,14,2)(18,14,2)(18,14,1)(19,15,2)(19,14,1)(20,15,2)(20,14,1)(21,15,0)(22,16,1)(23,17,2)(23,17,2)(23,17,1)(24,18,2)(24,17,1)(25,18,2)(25,17,0)(26,18,1)(27,19,2)(27,19,2)(27,19,1)(28,20,2)(28,19,1)(29,20,2)(29,19,0)(30,20,1)(31,21,2)(31,21,2)(31,21,1)(32,22,2)(32,21,1)(33,22,2)(33,21,0)(34,22,1)(35,23,2)(35,23,2)(35,23,1)(36,24,2)(36,23,1)(37,24,2)(37,23,0)(38,24,1)(39,25,2)(40,25,2)(40,25,1)(41,26,2)(41,22,1)(42,23,2)(42,23,2)(42,23,1)(43,24,2)(43,23,1)(44,24,2)(44,23,0)(45,24,1)(46,25,2)(47,25,2)(47,25,1)(48,26,1)(49,27,0)(50,28,1)(51,29,2)(52,29,2)(52,29,1)(53,30,0)(54,31,1)(55,32,2)(56,32,2)(56,32,0)(57,33,1)(58,34,2)(59,34,2)(59,34,0)(60,35,1)(61,36,2)(62,36,2)(62,36,0)(63,37,1)(64,38,2)(65,38,2)(65,38,0)(66,39,1)(67,40,2)(68,40,2)(68,40,0)(69,41,1)(70,42,2)(71,42,2)(71,42,0)(72,43,1)(73,44,0)(74,45,1)(75,44,0)(76,45,1)(77,46,0)(78,47,0)(79,44,0)(80,45,1)(81,46,0)(82,47,0)(83,44,0)(84,45,1)(85,46,0)(86,47,0)(87,44,0)(88,45,1)(89,46,0)(90,47,0)(91,44,0)(92,45,1)(93,46,0)(94,47,0)(95,44,0)(96,45,1)(96,45,1)(96,45,1)(96,45,0)(97,46,0)(98,47,0)(99,48,0)(100,47,0)(101,48,0)(102,47,0)(103,48,0)(104,47,0)(105,48,0)(106,47,0)(107,48,0)(108,45,0)(109,46,0)(110,47,0)(111,47,0)(111,47,0)(111,47,0)(111,47,0)(111,47,0)(111,47,0)(111,46,0)(112,47,0)(113,47,0)(113,47,0)(113,47,0)(113,47,0)(113,47,0)(113,47,0)(113,46,0)(114,47,0)(115,46,0)(116,47,0)(117,46,0)(118,47,0)(119,46,0)(120,45,0)(121,46,0)(122,47,0)(123,47,0)(123,47,0)(123,47,0)(123,47,0)(123,47,0)(123,47,0)(123,46,0)(124,47,0)(125,47,0)(125,47,0)(125,47,0)(125,47,0)(125,47,0)(125,47,0)(125,46,0)(126,47,0)(127,46,0)(128,47,0)(129,46,0)(130,47,0)(131,46,0)(132,45,0)(133,46,0)(134,47,0)(135,47,0)(135,47,0)(135,47,0)(135,47,0)(135,47,0)(135,47,0)(135,46,0)(136,47,0)(137,47,0)(137,47,0)(137,47,0)(137,47,0)(137,47,0)(137,47,0)(137,46,0)(138,47,0)(139,46,0)(140,47,0)(141,46,0)(142,47,0)(143,46,0)(144,45,0)(145,46,0)(146,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,46,0)(147,46,0)(147,46,0)(147,46,0)(147,46,0)(147,45,0)(148,46,0)(148,45,0)(149,46,0)(149,45,0)(150,46,0)(150,45,0)(151,45,0)(151,45,0)(150,45,0)(151,45,0)(150,45,0)(151,45,0)(148,45,0)(149,46,0)(149,45,0)(150,46,0)(150,45,0)(151,45,0)(151,45,0)(150,45,0)(151,45,0)(150,45,0)(151,45,0)(148,45,0)(149,46,0)(149,45,0)(150,46,0)(150,45,0)(151,45,0)(151,45,0)(150,45,0)(151,45,0)(150,45,0)(151,45,0)(148,45,0)(149,45,0)(149,45,0)(148,45,0)(149,45,0)(149,45,0)(148,45,0)(149,45,0)(147,45,0)(148,46,0)(148,45,0)(149,46,0)(149,45,0)(150,46,0)(150,45,0)(151,45,0)(151,45,0)(150,45,0)(151,45,0)(148,45,0)(149,46,0)(149,45,0)(150,45,0)(150,45,0)(149,45,0)(150,45,0)(149,45,0)(150,45,0)(149,45,0)(149,45,0)(149,45,0)(146,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,47,0)(147,46,0)(147,46,0)(147,46,0)(147,46,0)(147,45,0)(148,46,0)(149,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,46,0)(150,46,0)(150,46,0)(150,46,0)(150,46,0)(150,45,0)(151,46,0)(151,45,0)(152,46,0)(152,45,0)(153,46,0)(153,45,0)(154,45,0)(154,45,0)(153,45,0)(154,45,0)(153,45,0)(154,45,0)(151,45,0)(152,46,0)(152,45,0)(153,46,0)(153,45,0)(154,45,0)(154,45,0)(153,45,0)(154,45,0)(153,45,0)(154,45,0)(151,45,0)(152,46,0)(152,45,0)(153,46,0)(153,45,0)(154,45,0)(154,45,0)(153,45,0)(154,45,0)(153,45,0)(154,45,0)(151,45,0)(152,45,0)(152,45,0)(151,45,0)(152,45,0)(152,45,0)(151,45,0)(152,45,0)(150,45,0)(151,46,0)(151,45,0)(152,46,0)(152,45,0)(153,46,0)(153,45,0)(154,45,0)(154,45,0)(153,45,0)(154,45,0)(151,45,0)(152,46,0)(152,45,0)(153,45,0)(153,45,0)(152,45,0)(153,45,0)(152,45,0)(153,45,0)(152,45,0)(152,45,0)(152,45,0)(149,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,47,0)(150,46,0)(150,46,0)(150,46,0)(150,46,0)(150,45,0)(151,46,0)(152,47,0)(152,47,0)(152,47,0)(151,45,0)(152,46,0)(153,47,0)(150,45,0)(151,46,0)(152,47,0)(152,47,0)(152,47,0)(151,45,0)(152,46,0)(153,47,0)(150,45,0)(151,46,0)(152,47,0)(150,45,0)(151,46,0)(152,47,0)(150,45,0)(151,45,0)(152,45,0)(152,45,0)(151,45,0)(152,45,0)(152,45,0)(150,45,0)(149,45,0)
=== 脚注 ===
<references />

RO

2026-06-06T13:12:32Z

某人1234509876：修改了一下投影的值，使其跟SRO、DO等序数有一个差不多的格式

RO（Rathjen's Ordinal），是一个重要的[[序数]]。
{| class="wikitable"
![[序数记号]]
!表达式
|-
|[[OCF#BOCF|BOCF]]
|<math>\psi(\Omega_{K+1})</math>
|-
|[[反射序数]]
|<math>\psi(2\ \text{aft}\ 3)</math>
|-
|[[BMS]]
|<math>(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(4,1)(5,2)</math>
|-
|[[0-Y]]
|<math>1,4,7,10,12,15</math>
|-
|[[Y序列|1-Y]]
|<math>1,2,4,8,12,16,19,23</math>
|-
|[[ex-hydra]]
|<math>p1(p3(p3(p3(p2(p3)))))</math>
|-
|[[Dropping#M 记号|M 记号]]
|<math>p(p(M^{M^M}+M))</math>
|-
|[[投影序数|投影]]
|<math>\psi(\psi_\alpha(\Omega_{\alpha+1}^{\Omega_{\alpha+1}^{\varepsilon_{\alpha+1}}}))</math>
|}

=== 性质 ===
[[证明论序数]]：<math>\rm{KP+\Pi_3-reflection}</math>

极限在此处的记号：[[Rathjen's Ξ]]
[[分类:序数]]

RO

2026-06-06T13:03:35Z

某人1234509876：修改了RO的投影值

RO（Rathjen's Ordinal），是一个重要的[[序数]]。
{| class="wikitable"
![[序数记号]]
!表达式
|-
|[[OCF#BOCF|BOCF]]
|<math>\psi(\Omega_{K+1})</math>
|-
|[[反射序数]]
|<math>\psi(2\ \text{aft}\ 3)</math>
|-
|[[BMS]]
|<math>(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(4,1)(5,2)</math>
|-
|[[0-Y]]
|<math>1,4,7,10,12,15</math>
|-
|[[Y序列|1-Y]]
|<math>1,2,4,8,12,16,19,23</math>
|-
|[[ex-hydra]]
|<math>p1(p3(p3(p3(p2(p3)))))</math>
|-
|[[Dropping#M 记号|M 记号]]
|<math>p(p(M^{M^M}+M))</math>
|-
|[[投影序数|投影]]
|<math>\psi(\psi_\alpha(\Omega_{\alpha+1}^{\Omega_{\alpha+1}^{\Omega_{\alpha+1}}}+\Omega_{\alpha+1}))</math>
|}

=== 性质 ===
[[证明论序数]]：<math>\rm{KP+\Pi_3-reflection}</math>

极限在此处的记号：[[Rathjen's Ξ]]
[[分类:序数]]

AN

2026-05-22T05:19:21Z

某人1234509876：

= Ascension Notation =

此处Ascension Notation指的是AN1.1.1记号。AN1.1.1的定义比较复杂，建议先阅读下方的理念部分来作为铺垫。

== 理念 ==

我们假设一个记号，然后它可以用<math>\psi(\psi_{\psi_0})</math>表示BOCF的<math>\psi(\Omega_\omega)</math>，假如我们想要这个记号“不平凡”，我们可以定义一个用来对角化的一个记号，记作<math>\psi^*_0</math>，然后我们通过对角化，得到<math>\psi(\psi_{\psi^*_0}(\psi_0+1))=\psi(\psi_{\psi_0+1})=TFBO</math>而不是<math>\psi(\psi_{\psi_0}(\psi_0+1))=\psi(\psi_{\psi_0}^{\psi_0+1})=\psi(\Omega_\omega^{\omega+1})</math>。通过引入用来对角化的记号的这种操作，我们称其为“<math>\Pi_1</math>提升”（因为引入的记号的性质类似于极限序数，因此便叫做<math>\Pi_1</math>提升，同理，我们也可以引入更高阶的对角化记号，然后就有“<math>\Pi_2</math>提升”、“<math>\Pi_2\cap\Pi_1\,onto\,\Pi_2</math>提升”之类的）。AN1.1.1的理念便是尽最大可能创造更多的<math>\Pi_1</math>提升并且合理利用。

== 形式 ==

Ascension Notation 1.1.1是一个有序二叉树（叫做AN二叉树），每个节点包含以下信息（使用Typescript书写）

<syntaxhighlight lang="typescript" line="1">
type node = {
isAscensionNode: boolean,
data: "+" | "*" | "^" | "ψ" | number
}
</syntaxhighlight>

''isAscensionNode''表示该节点是否是一个提升节点（只有在''operator''为“<math>\psi</math>”时才可以设置为真），''data''表示该节点的数据，要么是一个枚举，要么是一个自然数，当该节点没有左右子节点的时候他才可以为一个自然数，当他为''+''、''*''、''^''的时候必须要有左右子节点。

为了方便表示AN二叉树，我们如下表达这个AN二叉树

# 对于节点N与可以不存在的左右子节点L和R
## 如果N的''data''为一个自然数，则直接使用该自然数来表示
## 如果N的''data''为''+''，则 <math>N=L+R</math>
## 如果N的''data''为''*''，则 <math>N=L\times R</math>
## 如果N的''data''为''^''，则 <math>N=L^R</math>
## 如果N的''data''为''ψ''
### 如果N的''isAscensionNode''为真
#### 如果L与R不存在，则 <math>N=\psi^*</math>
#### 如果R不存在，则<math>N=\psi^*(L)</math>
#### 如果L不存在，则<math>N=\psi^*_R</math>
#### 否则<math>N=\psi^*_R(L)</math>
### 否则
#### 如果L与R不存在，则<math>N=\psi</math>
#### 如果R不存在，则<math>N=\psi(L)</math>
#### 如果L不存在，则<math>N=\psi_R</math>
#### 否则<math>N=\psi_R(L)</math>

AN1.1.1是AN系列记号中的一个，AN系列有一个传统就是要在表达式外面套一个<math>\psi^A</math>。为了延续AN系列的传统，我们将AN的记号用<math>\psi^A</math>包起来，不过这个只是单纯的起到一个标识作用。

=== 合法表达式实例 ===

<math>\psi^A(\psi _0(\psi _1))</math>

<math>\psi^A(\psi _1\times 2)</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi _0}))</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0+1}))</math>

== 临时定义 ==

# 希腊字母表示任意一个序数。
# n与m表示任意一个自然数。
# #或者<math>\#_n</math>（n为自然数）是一个合法的AN二叉树。
# #+1或者<math>\#_n+1</math>（n为自然数）是一个最左侧''data''为一个不为零的自然数的节点的AN二叉树，其中#（或者<math>\#_n</math>）是让最左侧节点的自然数为原本的AN二叉树的自然数的前继的AN二叉树。
# [*]或者<math>[*_n]</math>（n为自然数）表示这个标记是可选的，如果选了就必须在后文带上这个标记（你如提升节点的标记）。
# <math>\#^E\psi^{[* 1]}_{\#+1}</math>是一个AN二叉树，是<math>\psi^{[*_1]}_{\#+1}</math>沿着父节点向上找到的第一个形如<math>\psi^{[* _2]}_{\#'}</math>且 <math>\#'<\#+1</math>（按照右根左字典序比较）的AN二叉树（不包括<math>\psi_{\#+1}</math>与<math>\psi_{\#'}</math>），随后将<math>\#^E</math>的根接到二叉树 <math>\psi^{[*_2]}_{\#}(...)</math>的省略号处，最终得到的<math>\#^E</math>才是真正的<math>\#^E</math>。该规则类似于极限为EBO的BOCF寻找<math>\psi_\#</math>的过程。
# <math>\#^L</math>是一个最右侧结尾是一个<math>\psi_0</math>或者<math>\psi^*_0</math>的二叉树。
# <math>\lambda\alpha.(\beta)</math>表示应用映射二叉树<math>\alpha</math>到<math>\beta</math>一直到第一个不动点的过程。
# <math>\alpha^{th}\lambda\beta.(\gamma)</math>表示应用映射二叉树<math>\alpha</math>到<math>\beta</math>一直到第<math>\alpha</math>个不动点的过程。

== 展开规则 ==

每个规则都按照右根左（反过来的中序）的顺序遍历与匹配，规则按照从上到下匹配。

=== <math>\Pi_0</math>提升规则（一般的Hydra模式规则） ===

<math>\psi _0=\omega</math>

<math>\#^E\psi_{\#+1}=\#^E\lambda\alpha.(\#^E\alpha)</math>

<math>\psi_{\#^L}[n]=\psi_{\#^L[n]}</math>

<math>\psi_{\# _1}(\# _2)=(\psi_{\# _1})^{\# _2}</math>

=== <math>\Pi_1</math>提升规则 ===

<math>\psi^*_0=\omega</math>

<math>\#^E\psi^*_{\#+1}=\#^E\lambda\alpha.(\#^E\alpha)</math>

<math>\psi^*_{\#^L}[n]=\psi^*_{\#^L[n]}</math>

<math>\psi^*_0(\#)=\#</math>

<math>\#^E\psi^*_{\# _1+1}(\# _2)=\#^E(1+\psi^A(\psi _0(\# _2)))^{th}\lambda\alpha.(\#^E\alpha)</math>

<math>\psi^*_{\#^L}(\#)=\psi^*_{\#^L(\#)}</math>

----

可以注意到每一个AN二叉树都需要以<math>\psi _0(...)</math>或者<math>\psi^*_0(...)</math>开始，不然没法展开。

=== 展开实例 ===

<math>\psi^A(\psi _0)=\omega</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi _1))=\psi^A(\psi _0(\psi _0(\psi _0(...))))=\varepsilon _0</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi _2))=\psi^A(\psi _0(\psi _1(\psi _1(...))))=\psi(\Omega _2)</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0}(\psi _0+1)))=\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0(\psi _0+1)}))=\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi _0+1}))=\psi(\Omega_{\omega+1})</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0}(\psi _1)))=\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi _0(\psi_{\psi _0(...)})}))=\psi(\Omega_\Omega)</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0+1}))=\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi_{...}}))=\psi(I)</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0(2)}(\psi _0+114514)))=\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0\times(\psi _0+114514)}))</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0(\psi _1)}))=\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0(\psi^*_0(\psi^*_0(...)))}))</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0(\psi^*_1)\times\psi _0}))</math>

== 极限式 ==

<math>lim(AN1.1.1)=\psi^A(\psi _0(\psi^*_{\psi^*_{...}}))</math>

== 枚举 ==

TODO：分析AN1.1.1

AN

2026-05-21T15:11:55Z

某人1234509876：创建AN1.1.1记号页面

= Ascension Notation =

此处Ascension Notation指的是AN1.1.1记号。AN1.1.1的定义比较复杂，建议先阅读下方的理念部分来作为铺垫。

== 理念 ==

我们假设一个记号，然后它可以用<math>\psi(\psi_{\psi_0})</math>表示BOCF的<math>\psi(\Omega_\omega)</math>，假如我们想要这个记号“不平凡”，我们可以定义一个用来对角化的一个记号，记作<math>\psi^*_0</math>，然后我们通过对角化，得到<math>\psi(\psi_{\psi^*_0}(\psi_0+1))=\psi(\psi_{\psi_0+1})=TFBO</math>而不是<math>\psi(\psi_{\psi_0}(\psi_0+1))=\psi(\psi_{\psi_0}^{\psi_0+1})=\psi(\Omega_\omega^{\omega+1})</math>。通过引入用来对角化的记号的这种操作，我们称其为“<math>\Pi_1</math>提升”（因为引入的记号的性质类似于极限序数，因此便叫做<math>\Pi_1</math>提升，同理，我们也可以引入更高阶的对角化记号，然后就有“<math>\Pi_2</math>提升”、“<math>\Pi_2\cap\Pi_1\,onto\,\Pi_2</math>提升”之类的）。AN1.1.1的理念便是尽最大可能创造更多的<math>\Pi_1</math>提升并且合理利用。

== 形式 ==

Ascension Notation 1.1.1是一个有序二叉树（叫做AN二叉树），每个节点包含以下信息（使用Typescript书写）

<syntaxhighlight lang="typescript" line="1">
type node = {
isAscensionNode: boolean,
data: "+" | "*" | "^" | "ψ" | number
}
</syntaxhighlight>

''isAscensionNode''表示该节点是否是一个提升节点（只有在''operator''为“<math>\psi</math>”时才可以设置为真），''data''表示该节点的数据，要么是一个枚举，要么是一个自然数，当该节点没有左右子节点的时候他才可以为一个自然数，当他为''+''、''*''、''^''的时候必须要有左右子节点。

为了方便表示AN二叉树，我们如下表达这个AN二叉树

# 对于节点N与可以不存在的左右子节点L和R
## 如果N的''data''为一个自然数，则直接使用该自然数来表示
## 如果N的''data''为''+''，则 <math>N=L+R</math>
## 如果N的''data''为''*''，则 <math>N=L\times R</math>
## 如果N的''data''为''^''，则 <math>N=L^R</math>
## 如果N的''data''为''ψ''
### 如果N的''isAscensionNode''为真
#### 如果L与R不存在，则 <math>N=\psi^*</math>
#### 如果R不存在，则<math>N=\psi^*(L)</math>
#### 如果L不存在，则<math>N=\psi^*_R</math>
#### 否则<math>N=\psi^*_R(L)</math>
### 否则
#### 如果L与R不存在，则<math>N=\psi</math>
#### 如果R不存在，则<math>N=\psi(L)</math>
#### 如果L不存在，则<math>N=\psi_R</math>
#### 否则<math>N=\psi_R(L)</math>

AN1.1.1是AN系列记号中的一个，AN系列有一个传统就是要在表达式外面套一个<math>\psi^A</math>。为了延续AN系列的传统，我们将AN的记号用<math>\psi^A</math>包起来，不过这个只是单纯的起到一个标识作用。

=== 合法表达式实例 ===

<math>\psi^A(\psi _0(\psi _1))</math>

<math>\psi^A(\psi _1\times 2)</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi _0}))</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0+1}))</math>

== 临时定义 ==

# 希腊字母表示任意一个序数。
# n与m表示任意一个自然数。
# #或者<math>\#_n</math>（n为自然数）是一个合法的AN二叉树。
# #+1或者<math>\#_n+1</math>（n为自然数）是一个最左侧''data''为一个不为零的自然数的节点的AN二叉树，其中#（或者<math>\#_n</math>）是让最左侧节点的自然数为原本的AN二叉树的自然数的前继的AN二叉树。
# [*]或者<math>[*_n]</math>（n为自然数）表示这个标记是可选的，如果选了就必须在后文带上这个标记（你如提升节点的标记）。
# <math>\#^E\psi^{[* 1]}_{\#+1}</math>是一个AN二叉树，是<math>\psi^{[*_1]}_{\#+1}</math>沿着父节点向上找到的第一个形如<math>\psi^{[* _2]}_{\#'}</math>且 <math>\#'<\#+1</math>（按照右根左字典序比较）的AN二叉树（不包括<math>\psi_{\#+1}</math>与<math>\psi_{\#'}</math>），随后将<math>\#^E</math>的根接到二叉树 <math>\psi^{[*_2]}_{\#}(...)</math>的省略号处，最终得到的<math>\#^E</math>才是真正的<math>\#^E</math>。该规则类似于极限为EBO的BOCF寻找<math>\psi_\#</math>的过程。
# <math>\#^L</math>是一个最左侧结尾是一个<math>\psi_0</math>或者<math>\psi^*_0</math>的二叉树。
# <math>\lambda\alpha.(\beta)</math>表示应用映射二叉树<math>\alpha</math>到<math>\beta</math>一直到第一个不动点的过程。
# <math>\alpha^{th}\lambda\beta.(\gamma)</math>表示应用映射二叉树<math>\alpha</math>到<math>\beta</math>一直到第<math>\alpha</math>个不动点的过程。

== 展开规则 ==

每个规则都按照右根左（反过来的中序）的顺序遍历与匹配，规则按照从上到下匹配。

=== <math>\Pi_0</math>提升规则（一般的Hydra模式规则） ===

<math>\psi _0=\omega</math>

<math>\#^E\psi_{\#+1}=\#^E\lambda\alpha.(\#^E\alpha)</math>

<math>\psi_{\#^L}[n]=\psi_{\#^L[n]}</math>

<math>\psi_{\# _1}(\# _2)=(\psi_{\# _1})^{\# _2}</math>

=== <math>\Pi_1</math>提升规则 ===

<math>\psi^*_0=\omega</math>

<math>\#^E\psi^*_{\#+1}=\#^E\lambda\alpha.(\#^E\alpha)</math>

<math>\psi^*_{\#^L}[n]=\psi^*_{\#^L[n]}</math>

<math>\psi^*_0(\#)=\#</math>

<math>\#^E\psi^*_{\# _1+1}(\# _2)=\#^E(1+\psi^A(\psi _0(\# _2)))^{th}\lambda\alpha.(\#^E\alpha)</math>

<math>\psi^*_{\#^L}(\#)=\psi^*_{\#^L(\#)}</math>

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可以注意到每一个AN二叉树都需要以<math>\psi _0(...)</math>或者<math>\psi^*_0(...)</math>开始，不然没法展开。

=== 展开实例 ===

<math>\psi^A(\psi _0)=\omega</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi _1))=\psi^A(\psi _0(\psi _0(\psi _0(...))))=\varepsilon _0</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi _2))=\psi^A(\psi _0(\psi _1(\psi _1(...))))=\psi(\Omega _2)</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0}(\psi _0+1)))=\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0(\psi _0+1)}))=\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi _0+1}))=\psi(\Omega_{\omega+1})</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0}(\psi _1)))=\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi _0(\psi_{\psi _0(...)})}))=\psi(\Omega_\Omega)</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0+1}))=\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi_{...}}))=\psi(I)</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0(2)}(\psi _0+114514)))=\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0\times(\psi _0+114514)}))</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0(\psi _1)}))=\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0(\psi^*_0(\psi^*_0(...)))}))</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0(\psi^*_1)\times\psi _0}))</math>

== 极限式 ==

<math>lim(AN1.1.1)=\psi^A(\psi _0(\psi^*_{\psi^*_{...}}))</math>

== 枚举 ==

TODO：分析AN1.1.1