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稳定序数
2025-07-09T15:45:09Z
<p>大数爱好者：</p>
<hr />
<div><math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>的<math>\Sigma_{n}</math>初等子结构，如果任取<math>\Sigma_{n}</math>公式<math>\varphi</math>均有单射j满足<math>L_{\alpha}</math>|=<math>\varphi</math>(<math>x_{1}</math>,<math>x_{2}</math>,…)等价于<math>L_{\beta}</math>|=<math>\varphi</math>(j(<math>x_{1}</math>),j(<math>x_{2}</math>),…)，也称其为<math>L_{\alpha}</math> <math>\Sigma_{n}</math>稳定到 <math>L_{\beta}</math><br><br />
<br />
除此外，我们还有<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射用于表达一些精细的层级，其中<math>L_{\alpha}</math><math>\Sigma_{1}</math>稳定到<math>L_{\beta}</math><br>(如未特别说明，下文的稳定到均为<math>\Sigma_{1}</math>稳定到)<br />
函数式定义:<br><br />
<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{f(\alpha)}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射 onto X，如果任取<math>\Pi_{n}</math>公式<math>\varphi</math>及参数<math>\gamma\in L_{\alpha}</math>和<math>\gamma'\in L_{\alpha'}</math><br />
有<math>L_{f(\alpha)}|=\varphi(\alpha,\gamma)\rightarrow L_{f(\alpha')}|=\varphi(\alpha',\gamma')</math>,对于<math>\alpha'\in\alpha \cap X</math><br><br />
<br />
序数式定义:<br><br />
<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射 onto X，如果任取<math>\Pi_{n}</math>公式，参数<math>\gamma\in\alpha</math>和<math>\gamma'\in\alpha'</math>有<br />
<math>L_{\beta}|=\varphi(\alpha,\gamma)\rightarrow L_{\beta'}|=\varphi(\alpha',\gamma')</math>，对于<math>\beta'\in\alpha</math>和<math>\alpha'\in\alpha\cap X</math><br><br />
<br />
关于函数式定义，由于<math>\omega</math>-ply的顶点下成员都是<math>\omega</math>-ply，这会到达f和<math>\alpha</math>的某种不动点，以至于无法继续行进<br><br />
稳定序数有如下路径:<br><br />
<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，则任取<math>n\in\omega</math>有<math>\alpha\in\Pi_{n}</math>反射序数<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\omega</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\omega^{2}</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> <math>onto^{(1,0)}</math>{<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{2}</math>反射是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\omega</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}\cap\Pi_{1}</math> onto {<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{2}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}\cap\Pi_{1}</math> onto {<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math>{<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}))的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{n:(<math>\Pi_{2}\cap\Pi_{1}</math><math> onto)^{n}</math>{<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}}的上界，则<math>\beta</math>是(<math>\Pi_{2}\cap\Pi_{1}</math> <math>onto)^{(1,0)}</math>{<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{2}</math> onto <math>\Pi_{2}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是(<math>\Pi_{2}</math> onto <math>\Pi_{2}</math>)<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{3}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{3}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员并且<math>\beta\in\Pi_{n}</math>反射<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\omega</math>个<math>\alpha</math>满足{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto ({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}))的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{2}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}))的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的上界，则<math>\beta</math>是{<math>\gamma:L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>}<math>\cap</math>(<math>\Pi_{1}</math> onto {<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}))的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{n:({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math><math>onto)^{n}</math>)}的上界，则<math>\beta</math>是({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math><math>onto)^{(1,0)}</math>的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> <math>onto^{(1,0)}</math>(<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{2}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}\cap</math>(<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap</math>(<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap</math>(<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{x:(<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math><math>onto)^{x}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是(<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math> <math>onto)^{(1,0)}</math>的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{3}</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的，则<math>\beta</math>是 <math>\Pi_{3}\cap(\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>是 <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的，则<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap</math>(<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是<math>\Pi_{3}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\beta : L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} <math>onto)^{(1,0)}</math>{<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in</math>{<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}的，则<math>\beta</math>是{<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}<math>\cap</math>({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} onto {<math>\gamma:L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>，且<math>L_{\gamma}</math>是<math>L_{\gamma+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射} onto {<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是({<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}<math>onto)^{(1,0)}</math>的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta+1}</math>-<math>\Pi_{3}</math>反射<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+2}</math>，则<math>\beta</math>满足对<math>n\in\omega</math>均有<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta+1}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+2}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+2}</math>}<math>\cap(\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+2}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是<math>\Pi_{3}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+2}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+2}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\gamma:L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+2}</math>}<math>\cap</math>({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+2}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>且<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+2}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+2}</math>} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+2}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+2}</math>，且<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta+2}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+3}</math>，则对<math>n\in\omega</math>有<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta+2}</math>-<math>Pi_{n}</math>反射<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+\omega}</math><br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta*2}</math><br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+\alpha+1}</math>，其中<math>\alpha</math>是最小的<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math><br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是第二个满足<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta*2}</math>的序数<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}</math><math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+\gamma}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>}的最小成员，其中<math>\gamma</math>是满足<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma*2}</math>的最小序数<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+\gamma}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>}的最小成员，其中<math>\gamma</math>是上一条中的<math>\beta</math><br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta*2}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+\gamma}</math>} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>}的最小成员，其中<math>\gamma</math>是最小的<math>L_{\gamma}</math>是<math>L_{\gamma*2}</math><br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta*2}</math>} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta*2}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta*2+1}</math><br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta^{2}}</math><br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\Omega_{\beta+1}}</math><br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>，且<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>，则<math>L_{\gamma}</math>是首个大于<math>\beta</math>序数满足<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math><br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\gamma+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma+2}</math><br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma+\omega}</math><br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma*2}</math><br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\Omega_{\gamma+1}}</math><br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，对<math>\gamma\in\alpha</math><br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma_{n}}</math>稳定到<math>L_{\gamma_{n}+1}</math>，对于<math>n\in\omega</math>和<math>\gamma_{n}\in\gamma_{n+1}</math>，则L_{\gamma}</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>，其中<math>\gamma</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>，其中<math>\gamma</math>是<math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>，其中<math>\gamma</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>，其中<math>\gamma</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>，其中<math>\gamma</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>，其中<math>L_{\gamma}</math>是<math>L_{\gamma+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+2}</math><br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+\beta}</math><br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma*2}</math><br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\zeta}</math>稳定到<math>L_{\zeta+1}</math><br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta_{x}}</math>稳定到<math>L_{\beta_{x+1}}</math>，对<math>n\in\omega</math>，则<math>\beta_{n}</math>是<math>\omega</math>-ply，常规稳定链的终点，在此后需要涉及更高阶的反射</div>
大数爱好者
http://wiki.googology.top/index.php?title=%E7%A8%B3%E5%AE%9A%E5%BA%8F%E6%95%B0&diff=860
稳定序数
2025-07-06T08:13:03Z
<p>大数爱好者：</p>
<hr />
<div><math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>的<math>\Sigma_{n}</math>初等子结构，如果任取<math>\Sigma_{n}</math>公式<math>\varphi</math>均有单射j满足<math>L_{\alpha}</math>|=<math>\varphi</math>(<math>x_{1}</math>,<math>x_{2}</math>,…)等价于<math>L_{\beta}</math>|=<math>\varphi</math>(j(<math>x_{1}</math>),j(<math>x_{2}</math>),…)，也称其为<math>L_{\alpha}</math> <math>\Sigma_{n}</math>稳定到 <math>L_{\beta}</math><br><br />
<br />
除此外，我们还有<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射用于表达一些精细的层级，其中<math>L_{\alpha}</math><math>\Sigma_{1}</math>稳定到<math>L_{\beta}</math><br>(如未特别说明，下文的稳定到均为<math>\Sigma_{1}</math>稳定到)<br />
函数式定义:<br><br />
<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{f(\alpha)}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射 onto X，如果任取<math>\Pi_{n}</math>公式<math>\varphi</math>及参数<math>\gamma\in L_{\alpha}</math>和<math>\gamma'\in L_{\alpha'}</math><br />
有<math>L_{f(\alpha)}|=\varphi(\alpha,\gamma)\rightarrow L_{f(\alpha')}|=\varphi(\alpha',\gamma')</math>,对于<math>\alpha'\in\alpha \cap X</math><br><br />
<br />
序数式定义:<br><br />
<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射 onto X，如果任取<math>\Pi_{n}</math>公式，参数<math>\gamma\in\alpha</math>和<math>\gamma'\in\alpha'</math>有<br />
<math>L_{\beta}|=\varphi(\alpha,\gamma)\rightarrow L_{\beta'}|=\varphi(\alpha',\gamma')</math>，对于<math>\beta'\in\alpha</math>和<math>\alpha'\in\alpha\cap X</math><br><br />
<br />
关于函数式定义，由于<math>\omega</math>-ply的顶点下成员都是<math>\omega</math>-ply，这会到达f和<math>\alpha</math>的某种不动点，以至于无法继续行进<br><br />
稳定序数有如下路径:<br><br />
<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，则任取<math>n\in\omega</math>有<math>\alpha\in\Pi_{n}</math>反射序数<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\omega</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\omega^{2}</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> <math>onto^{(1,0)}</math>{<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{2}</math>反射是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\omega</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}\cap\Pi_{1}</math> onto {<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{2}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}\cap\Pi_{1}</math> onto {<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math>{<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}))的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{n:(<math>\Pi_{2}\cap\Pi_{1}</math><math> onto)^{n}</math>{<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}}的上界，则<math>\beta</math>是(<math>\Pi_{2}\cap\Pi_{1}</math> <math>onto)^{(1,0)}</math>{<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{2}</math> onto <math>\Pi_{2}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是(<math>\Pi_{2}</math> onto <math>\Pi_{2}</math>)<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{3}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{3}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员并且<math>\beta\in\Pi_{n}</math>反射<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\omega</math>个<math>\alpha</math>满足{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto ({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}))的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{2}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}))的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的上界，则<math>\beta</math>是{<math>\gamma:L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>}<math>\cap</math>(<math>\Pi_{1}</math> onto {<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}))的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{n:({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math><math>onto)^{n}</math>)}的上界，则<math>\beta</math>是({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math><math>onto)^{(1,0)}</math>的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> <math>onto^{(1,0)}</math>(<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{2}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}\cap</math>(<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap</math>(<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap</math>(<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{x:(<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math><math>onto)^{x}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是(<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math> <math>onto)^{(1,0)}</math>的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{3}</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的，则<math>\beta</math>是 <math>\Pi_{3}\cap(\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>是 <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的，则<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap</math>(<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是<math>\Pi_{3}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\beta : L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} <math>onto)^{(1,0)}</math>{<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in</math>{<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}的，则<math>\beta</math>是{<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}<math>\cap</math>({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} onto {<math>\gamma:L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>，且<math>L_{\gamma}</math>是<math>L_{\gamma+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射} onto {<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是({<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}<math>onto)^{(1,0)}</math>的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta+1}</math>-<math>\Pi_{3}</math>反射<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+2}</math>，则<math>\beta</math>满足对<math>n\in\omega</math>均有<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta+1}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+2}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+2}</math>}<math>\cap(\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+2}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是<math>\Pi_{3}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+2}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+2}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\gamma:L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+2}</math>}<math>\cap</math>({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+2}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>且<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+2}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+2}</math>} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+2}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+2}</math>，且<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta+2}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+3}</math>，则对<math>n\in\omega</math>有<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta+2}</math>-<math>Pi_{n}</math>反射<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+\omega}</math><br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta*2}</math><br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+\alpha+1}</math>，其中<math>\alpha</math>是最小的<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math><br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是第二个满足<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta*2}</math>的序数<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}</math><math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+\gamma}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>}的最小成员，其中<math>\gamma</math>是满足<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma*2}</math>的最小序数<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+\gamma}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>}的最小成员，其中<math>\gamma</math>是上一条中的<math>\beta</math><br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta*2}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+\gamma}</math>} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>}的最小成员，其中<math>\gamma</math>是最小的<math>L_{\gamma}</math>是<math>L_{\gamma*2}</math><br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta*2}</math>} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta*2}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta*2+1}</math><br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta^{2}}</math><br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\Omega_{\beta+1}}</math><br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>，且<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>，则<math>L_{\gamma}</math>是首个大于<math>\beta</math>序数满足<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math><br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\gamma+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma+2}</math><br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma+\omega}</math><br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma*2}</math><br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\Omega_{\gamma+1}}</math><br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，对<math>\gamma\in\alpha</math><br><br></div>
大数爱好者
http://wiki.googology.top/index.php?title=%E7%A8%B3%E5%AE%9A%E5%BA%8F%E6%95%B0&diff=787
稳定序数
2025-07-05T07:41:29Z
<p>大数爱好者：</p>
<hr />
<div><math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>的<math>\Sigma_{n}</math>初等子结构，如果任取<math>\Sigma_{n}</math>公式<math>\varphi</math>均有单射j满足<math>L_{\alpha}</math>|=<math>\varphi</math>(<math>x_{1}</math>,<math>x_{2}</math>,…)等价于<math>L_{\beta}</math>|=<math>\varphi</math>(j(<math>x_{1}</math>),j(<math>x_{2}</math>),…)，也称其为<math>L_{\alpha}</math> <math>\Sigma_{n}</math>稳定到 <math>L_{\beta}</math><br><br />
<br />
除此外，我们还有<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射用于表达一些精细的层级，其中<math>L_{\alpha}</math><math>\Sigma_{1}</math>稳定到<math>L_{\beta}</math><br>(如未特别说明，下文的稳定到均为<math>\Sigma_{1}</math>稳定到)<br />
函数式定义:<br><br />
<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{f(\alpha)}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射 onto X，如果任取<math>\Pi_{n}</math>公式<math>\varphi</math>及参数<math>\gamma\in L_{\alpha}</math>和<math>\gamma'\in L_{\alpha'}</math><br />
有<math>L_{f(\alpha)}|=\varphi(\alpha,\gamma)\rightarrow L_{f(\alpha')}|=\varphi(\alpha',\gamma')</math>,对于<math>\alpha'\in\alpha \cap X</math><br><br />
<br />
序数式定义:<br><br />
<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射 onto X，如果任取<math>\Pi_{n}</math>公式，参数<math>\gamma\in\alpha</math>和<math>\gamma'\in\alpha'</math>有<br />
<math>L_{\beta}|=\varphi(\alpha,\gamma)\rightarrow L_{\beta'}|=\varphi(\alpha',\gamma')</math>，对于<math>\beta'\in\alpha</math>和<math>\alpha'\in\alpha\cap X</math><br><br />
<br />
关于函数式定义，由于<math>\omega</math>-ply的顶点下成员都是<math>\omega</math>-ply，这会到达f和<math>\alpha</math>的某种不动点，以至于无法继续行进<br><br />
稳定序数有如下路径:<br><br />
<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，则任取<math>n\in\omega</math>有<math>\alpha\in\Pi_{n}</math>反射序数<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\omega</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\omega^{2}</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> <math>onto^{(1,0)}</math>{<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{2}</math>反射是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\omega</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}\cap\Pi_{1}</math> onto {<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{2}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}\cap\Pi_{1}</math> onto {<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math>{<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}))的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{n:(<math>\Pi_{2}\cap\Pi_{1}</math><math> onto)^{n}</math>{<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}}的上界，则<math>\beta</math>是(<math>\Pi_{2}\cap\Pi_{1}</math> <math>onto)^{(1,0)}</math>{<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{2}</math> onto <math>\Pi_{2}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是(<math>\Pi_{2}</math> onto <math>\Pi_{2}</math>)<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{3}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{3}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员并且<math>\beta\in\Pi_{n}</math>反射<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\omega</math>个<math>\alpha</math>满足{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto ({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}))的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{2}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}))的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的上界，则<math>\beta</math>是{<math>\gamma:L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>}<math>\cap</math>(<math>\Pi_{1}</math> onto {<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}))的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{n:({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math><math>onto)^{n}</math>)}的上界，则<math>\beta</math>是({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math><math>onto)^{(1,0)}</math>的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> <math>onto^{(1,0)}</math>(<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{2}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}\cap</math>(<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap</math>(<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap</math>(<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{x:(<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math><math>onto)^{x}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是(<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math> <math>onto)^{(1,0)}</math>的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{3}</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的，则<math>\beta</math>是 <math>\Pi_{3}\cap(\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>是 <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的，则<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap</math>(<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是<math>\Pi_{3}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\beta : L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} <math>onto)^{(1,0)}</math>{<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in</math>{<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}的，则<math>\beta</math>是{<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}\cap({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} onto {<math>\gamma:L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>，且<math>L_{\gamma}</math>是<math>L_{\gamma+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是{<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射} onto {<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是({<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}<math>onto)^{(1,0)}</math>的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta+1}</math>-<math>\Pi_{3}</math>反射<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+2}</math>，则<math>\beta</math>满足对<math>n\in\omega</math>均有<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta+1}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射</div>
大数爱好者
http://wiki.googology.top/index.php?title=%E7%A8%B3%E5%AE%9A%E5%BA%8F%E6%95%B0&diff=786
稳定序数
2025-07-05T06:29:04Z
<p>大数爱好者：</p>
<hr />
<div><math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>的<math>\Sigma_{n}</math>初等子结构，如果任取<math>\Sigma_{n}</math>公式<math>\varphi</math>均有单射j满足<math>L_{\alpha}</math>|=<math>\varphi</math>(<math>x_{1}</math>,<math>x_{2}</math>,…)等价于<math>L_{\beta}</math>|=<math>\varphi</math>(j(<math>x_{1}</math>),j(<math>x_{2}</math>),…)，也称其为<math>L_{\alpha}</math> <math>\Sigma_{n}</math>稳定到 <math>L_{\beta}</math><br><br />
<br />
除此外，我们还有<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射用于表达一些精细的层级，其中<math>L_{\alpha}</math><math>\Sigma_{1}</math>稳定到<math>L_{\beta}</math><br>(如未特别说明，下文的稳定到均为<math>\Sigma_{1}</math>稳定到)<br />
函数式定义:<br><br />
<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{f(\alpha)}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射 onto X，如果任取<math>\Pi_{n}</math>公式<math>\varphi</math>及参数<math>\gamma\in L_{\alpha}</math>和<math>\gamma'\in L_{\alpha'}</math><br />
有<math>L_{f(\alpha)}|=\varphi(\alpha,\gamma)\rightarrow L_{f(\alpha')}|=\varphi(\alpha',\gamma')</math>,对于<math>\alpha'\in\alpha \cap X</math><br><br />
<br />
序数式定义:<br><br />
<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射 onto X，如果任取<math>\Pi_{n}</math>公式，参数<math>\gamma\in\alpha</math>和<math>\gamma'\in\alpha'</math>有<br />
<math>L_{\beta}|=\varphi(\alpha,\gamma)\rightarrow L_{\beta'}|=\varphi(\alpha',\gamma')</math>，对于<math>\beta'\in\alpha</math>和<math>\alpha'\in\alpha\cap X</math><br><br />
<br />
关于函数式定义，由于<math>\omega</math>-ply的顶点下成员都是<math>\omega</math>-ply，这会到达f和<math>\alpha</math>的某种不动点，以至于无法继续行进<br><br />
稳定序数有如下路径:<br><br />
<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，则任取<math>n\in\omega</math>有<math>\alpha\in\Pi_{n}</math>反射序数<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\omega</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\omega^{2}</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br><br />
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<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> <math>onto^{(1,0)}</math>{<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{2}</math>反射是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
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<math>\beta</math>是前<math>n\in\omega</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}\cap\Pi_{1}</math> onto {<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
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<math>\beta\in\Pi_{2}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}\cap\Pi_{1}</math> onto {<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math>{<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}))的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{n:(<math>\Pi_{2}\cap\Pi_{1}</math><math> onto)^{n}</math>{<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}}的上界，则<math>\beta</math>是(<math>\Pi_{2}\cap\Pi_{1}</math> <math>onto)^{(1,0)}</math>{<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br><br />
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<math>\beta\in\Pi_{2}</math> onto <math>\Pi_{2}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是(<math>\Pi_{2}</math> onto <math>\Pi_{2}</math>)<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{3}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{3}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员并且<math>\beta\in\Pi_{n}</math>反射<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\omega</math>个<math>\alpha</math>满足{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto ({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}))的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{2}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}))的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的上界，则<math>\beta</math>是{<math>\gamma:L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>}<math>\cap</math>(<math>\Pi_{1}</math> onto {<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}))的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{n:({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math><math>onto)^{n}</math>)}的上界，则<math>\beta</math>是({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math><math>onto)^{(1,0)}</math>的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> <math>onto^{(1,0)}</math>(<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{2}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}\cap</math>(<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap</math>(<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap</math>(<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{x:(<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math><math>onto)^{x}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是(<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math> <math>onto)^{(1,0)}</math>的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{3}</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的，则<math>\beta</math>是 <math>\Pi_{3}\cap(\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>是 <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的，则<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap</math>(<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是<math>\Pi_{3}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br></div>
大数爱好者
http://wiki.googology.top/index.php?title=%E7%A8%B3%E5%AE%9A%E5%BA%8F%E6%95%B0&diff=692
稳定序数
2025-07-04T04:05:42Z
<p>大数爱好者：</p>
<hr />
<div><math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>的<math>\Sigma_{n}</math>初等子结构，如果任取<math>\Sigma_{n}</math>公式<math>\varphi</math>均有单射j满足<math>L_{\alpha}</math>|=<math>\varphi</math>(<math>x_{1}</math>,<math>x_{2}</math>,…)等价于<math>L_{\beta}</math>|=<math>\varphi</math>(j(<math>x_{1}</math>),j(<math>x_{2}</math>),…)，也称其为<math>L_{\alpha}</math> <math>\Sigma_{n}</math>稳定到 <math>L_{\beta}</math><br><br />
<br />
除此外，我们还有<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射用于表达一些精细的层级，其中<math>L_{\alpha}</math><math>\Sigma_{1}</math>稳定到<math>L_{\beta}</math><br>(如未特别说明，下文的稳定到均为<math>\Sigma_{1}</math>稳定到)<br />
函数式定义:<br><br />
<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{f(\alpha)}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射 onto X，如果任取<math>\Pi_{n}</math>公式<math>\varphi</math>及参数<math>\gamma\in L_{\alpha}</math>和<math>\gamma'\in L_{\alpha'}</math><br />
有<math>L_{f(\alpha)}|=\varphi(\alpha,\gamma)\rightarrow L_{f(\alpha')}|=\varphi(\alpha',\gamma')</math>,对于<math>\alpha'\in\alpha \cap X</math><br><br />
<br />
序数式定义:<br><br />
<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射 onto X，如果任取<math>\Pi_{n}</math>公式，参数<math>\gamma\in\alpha</math>和<math>\gamma'\in\alpha'</math>有<br />
<math>L_{\beta}|=\varphi(\alpha,\gamma)\rightarrow L_{\beta'}|=\varphi(\alpha',\gamma')</math>，对于<math>\beta'\in\alpha</math>和<math>\alpha'\in\alpha\cap X</math><br><br />
<br />
关于函数式定义，由于<math>\omega</math>-ply的顶点下成员都是<math>\omega</math>-ply，这会到达f和<math>\alpha</math>的某种不动点，以至于无法继续行进<br><br />
稳定序数有如下路径:<br><br />
<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，则任取<math>n\in\omega</math>有<math>\alpha\in\Pi_{n}</math>反射序数<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\omega</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\omega^{2}</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> <math>onto^{(1,0)}</math>{<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{2}</math>反射是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\omega</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}\cap\Pi_{1}</math> onto {<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{2}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}\cap\Pi_{1}</math> onto {<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math>{<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}))的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{n:(<math>\Pi_{2}\cap\Pi_{1}</math><math> onto)^{n}</math>{<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}}的上界，则<math>\beta</math>是(<math>\Pi_{2}\cap\Pi_{1}</math> <math>onto)^{(1,0)}</math>{<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{2}</math> onto <math>\Pi_{2}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是(<math>\Pi_{2}</math> onto <math>\Pi_{2}</math>)<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{3}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{3}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员并且<math>\beta\in\Pi_{n}</math>反射<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\omega</math>个<math>\alpha</math>满足{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto ({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}))的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{2}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}))的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的上界，则<math>\beta</math>是{<math>\gamma:L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>}<math>\cap</math>(<math>\Pi_{1}</math> onto {<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}))的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{n:({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math><math>onto)^{n}</math>)}的上界，则<math>\beta</math>是({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math><math>onto)^{(1,0)}</math>的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> <math>onto^{(1,0)}</math>(<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>\beta\in\Pi_{2}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}\cap</math>(<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br><br />
<br />
<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap</math>(<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br></div>
大数爱好者
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稳定序数
2025-07-03T15:45:06Z
<p>大数爱好者：</p>
<hr />
<div><math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>的<math>\Sigma_{n}</math>初等子结构，如果任取<math>\Sigma_{n}</math>公式<math>\varphi</math>均有单射j满足<math>L_{\alpha}</math>|=<math>\varphi</math>(<math>x_{1}</math>,<math>x_{2}</math>,…)等价于<math>L_{\beta}</math>|=<math>\varphi</math>(j(<math>x_{1}</math>),j(<math>x_{2}</math>),…)，也称其为<math>L_{\alpha}</math> <math>\Sigma_{n}</math>稳定到 <math>L_{\beta}</math><br><br />
<br />
除此外，我们还有<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射用于表达一些精细的层级，其中<math>L_{\alpha}</math><math>\Sigma_{1}</math>稳定到<math>L_{\beta}</math><br><br />
函数式定义:<br><br />
<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{f(\alpha)}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射 onto X，如果任取<math>\Pi_{n}</math>公式<math>\varphi</math>及参数<math>\gamma\in L_{\alpha}</math>和<math>\gamma'\in L_{\alpha'}</math><br />
有<math>L_{f(\alpha)}|=\varphi(\alpha,\gamma)\rightarrow L_{f(\alpha')}|=\varphi(\alpha',\gamma')</math>,对于<math>\alpha'\in\alpha\bigcap X</math><br><br />
<br />
序数式定义:<br><br />
<math>L_{alpha}</math>是<math>L_{beta}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射 onto X，如果任取<math>\Pi_{n}</math>公式，参数<math>\gamma\in\alpha</math>和<math>\gamma'\in\alpha'</math>有<br />
<math>L_{\beta}|=\varphi(\alpha,\gamma)</math><math>\rightarrow</math><math>L_{\beta'}</math></div>
大数爱好者
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2025-07-03T15:39:36Z
<p>大数爱好者：</p>
<hr />
<div><math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>的<math>\Sigma_{n}</math>初等子结构，如果任取<math>\Sigma_{n}</math>公式<math>\varphi</math>均有单射j满足<math>L_{\alpha}</math>|=<math>\varphi</math>(<math>x_{1}</math>,<math>x_{2}</math>,…)等价于<math>L_{\beta}</math>|=<math>\varphi</math>(j(<math>x_{1}</math>),j(<math>x_{2}</math>),…)，也称其为<math>L_{\alpha}</math> <math>\Sigma_{n}</math>稳定到 <math>L_{\beta}</math><br><br />
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除此外，我们还有<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射用于表达一些精细的层级，其中<math>L_{\alpha}</math><math>\Sigma_{1}</math>稳定到<math>L_{\beta}</math><br><br />
函数式定义:<br><br />
<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{f(\alpha)}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射 onto X，如果任取<math>\Pi_{n}</math>公式<math>\varphi</math>及参数<math>\gamma\in L_{\alpha}</math>和<math>\gamma'\in L_{\alpha'}</math></div>
大数爱好者
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稳定序数
2025-07-03T14:17:43Z
<p>大数爱好者：</p>
<hr />
<div><math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>的<math>\Sigma_{n}</math>初等子结构，如果任取<math>\Sigma_{n}</math>公式<math>\varphi</math>均有单射j满足<math>L_{\alpha}</math>|=<math>\varphi</math>(<math>x_{1}</math>,<math>x_{2}</math>,…)等价于<math>L_{\beta}</math>|=<math>\varphi</math>(j(<math>x_{1}</math>),j(<math>x_{2}</math>),…)，也称其为<math>L_{\alpha}</math> <math>\Sigma_{n}</math>稳定到 <math>L_{\beta}</math><br><br />
<br />
除此外，我们还有<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射用于表达一些精细的层级<br><br />
函数式定义:<br><br />
<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{f(\alpha)}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射，如果<math>L_{\alpha} \Sigma_{1}</math>稳定到<math>L_{f(\alpha)}</math>且任取<math>\Sigma_{n}</math>公式<math>\varphi</math></div>
大数爱好者
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稳定序数
2025-07-03T14:06:59Z
<p>大数爱好者：</p>
<hr />
<div><math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>的<math>\Sigma_{n}</math>初等子结构，如果任取<math>\Sigma_{n}</math>公式<math>\varphi</math>均有单射j满足<math>L_{\alpha}</math>|=<math>\varphi</math>(<math>x_{1}</math>,<math>x_{2}</math>,…)等价于<math>L_{\beta}</math>|=<math>\varphi</math>(j(<math>x_{1}</math>),j(<math>x_{2}</math>),…)，也称其为<math>L_{\alpha}</math> <math>\Sigma_{n}</math>稳定到 <math>L_{\beta}</math><br><br />
<br />
除此外，我们还有<math>\alpha</math>是<math>\beta</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射用于表达一些精细的层级<br><br />
函数式定义:<br><br />
<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{f(\alpha)}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射，如果</div>
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稳定序数
2025-07-03T13:51:22Z
<p>大数爱好者：</p>
<hr />
<div><math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>的<math>\Sigma_{n}</math>初等子结构，如果任取<math>\Sigma_{n}</math>公式<math>\varphi</math>均有单射j满足<math>L_{\alpha}</math>|=<math>\varphi</math>(<math>x_{1}</math>,<math>x_{2}</math>,…)等价于<math>L_{\beta}</math>|=<math>\varphi</math>(j(<math>x_{1}</math>),j(<math>x_{2}</math>),…)，也称其为<math>L_{\alpha}</math> <math>\Sigma_{n}</math>稳定到 <math>L_{\beta}</math><br />
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在BM4良序性证明中，作者构造了一个保序映射<math>f:Ord\rightarrow BMS</math><br><br />
<br />
由于BM4的输出必是一个递归序数，所以这实际构建了一个稳定序数到递归序数的对应<br><br />
<br />
但在只考虑BM4标准形的情况下，这无法管理向上反射的结构<br><br />
<br />
基于此，本篇文章将使用涵盖不标准BM4的映射<math>f:Ord\rightarrow BMS</math>来辅助读者对稳定序数的理解，请注意，它的保序性尚未明确。</div>
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稳定序数
2025-07-03T13:50:25Z
<p>大数爱好者：</p>
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<div><math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>的<math>\Sigma_{n}</math>初等子结构，如果任取<math>\Sigma_{n}</math>公式<math>\varphi</math>均有单射j满足<math>L_{\alpha}</math>|=<math>\varphi</math>(<math>x_{1}</math>,<math>x_{2}</math>,…)等价于<math>L_{\beta}</math>|=<math>\varphi</math>(j(<math>x_{1}</math>),j(<math>x_{2}</math>),…)，也称其为<math>L_{\alpha}</math><math>\Sigma_{n}</math>稳定到<math>L_{\beta}</math><br />
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在BM4良序性证明中，作者构造了一个保序映射<math>f:Ord\rightarrow BMS</math><br><br />
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由于BM4的输出必是一个递归序数，所以这实际构建了一个稳定序数到递归序数的对应<br><br />
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但在只考虑BM4标准形的情况下，这无法管理向上反射的结构<br><br />
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基于此，本篇文章将使用涵盖不标准BM4的映射<math>f:Ord\rightarrow BMS</math>来辅助读者对稳定序数的理解，请注意，它的保序性尚未明确。</div>
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2025-07-03T13:45:56Z
<p>大数爱好者：</p>
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<div><math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>的<math>\Sigma_{n}</math>初等子结构，如果任取<math>\Sigma_{n}</math>公式<math>\varphi</math>均有单射j满足<math>L_{\alpha}</math>|=<math>\varphi</math>(<math>x_{1}</math>,<math>x_{2}</math>,…)等价于<math>L_{\beta}</math>|=<math>\varphi</math>(j(<math>x_{1}</math>),j(<math>x_{2}</math>),…)，也称其为<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\beta}</math><br />
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在BM4良序性证明中，作者构造了一个保序映射<math>f:Ord\rightarrow BMS</math><br><br />
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由于BM4的输出必是一个递归序数，所以这实际构建了一个稳定序数到递归序数的对应<br><br />
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但在只考虑BM4标准形的情况下，这无法管理向上反射的结构<br><br />
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基于此，本篇文章将使用涵盖不标准BM4的映射<math>f:Ord\rightarrow BMS</math>来辅助读者对稳定序数的理解，请注意，它的保序性尚未明确。</div>
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2025-07-03T13:45:11Z
<p>大数爱好者：</p>
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<div><math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>的<math>\Sigma_{n}</math>初等子结构，如果任取<math>\Sigma_{n}</math>公式<math>\varphi</math>均有单射j满足<math>L_{\alpha}</math>|=<math>\varphi</math>(<math>x_{1}</math>,<math>x_{2}</math>,…)等价于<math>L_{\beta}</math>|=<math>\varphi</math>(j(<math>x_{1}</math>),j(<math>x_{2}</math>),…)，也称其为<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\beta}</math><br />
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在BM4良序性证明中，作者构造了一个保序映射<math>f:Ord\rightarrow BMS</math><br><br />
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由于BM4的输出必是一个递归序数，所以这实际构建了一个稳定序数到递归序数的对应<br><br />
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但在只考虑BM4标准形的情况下，这无法管理向上反射的结构<br />
基于此，本篇文章将使用涵盖不标准BM4的映射<math>f:Ord\rightarrow BMS</math>来辅助读者对稳定序数的理解，请注意，它的保序性尚未明确。</div>
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2025-07-03T13:43:40Z
<p>大数爱好者：</p>
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<div><math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>的<math>\Sigma_{n}</math>初等子结构，如果任取<math>\Sigma_{n}</math>公式<math>\varphi</math>均有单射j满足<math>L_{\alpha}</math>|=<math>\varphi</math>(<math>x_{1}</math>,<math>x_{2}</math>,…)等价于<math>L_{\beta}</math>|=<math>\varphi</math>(j(<math>x_{1}</math>),j(<math>x_{2}</math>),…)，也称其为<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\beta}</math><br />
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在BM4良序性证明中，作者构造了一个保序映射<math>f:Ord\rightarrow BMS</math><br />
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由于BM4的输出必是一个递归序数，所以这实际构建了一个稳定序数到递归序数的对应<br />
但在只考虑BM4标准形的情况下，这无法管理向上反射的结构<br />
基于此，本篇文章将使用涵盖不标准BM4的映射<math>f:Ord\rightarrow BMS</math>来辅助读者对稳定序数的理解，请注意，它的保序性尚未明确。</div>
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2025-07-03T13:42:58Z
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<div><math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>的<math>\Sigma_{n}</math>初等子结构，如果任取<math>\Sigma_{n}</math>公式<math>\varphi</math>均有单射j满足<math>L_{\alpha}</math>|=<math>\varphi</math>(<math>x_{1}</math>,<math>x_{2}</math>,…)等价于<math>L_{\beta}</math>|=<math>\varphi</math>(j(<math>x_{1}</math>),j(<math>x_{2}</math>),…)，也称其为<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\beta}</math><br />
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在BM4良序性证明中，作者构造了一个保序映射<math>f:Ord\rightarrow BMS</math><br />
由于BM4的输出必是一个递归序数，所以这实际构建了一个稳定序数到递归序数的对应，但在只考虑BM4标准形的情况下，这无法管理向上反射的结构<br />
基于此，本篇文章将使用涵盖不标准BM4的映射<math>f:Ord\rightarrow BMS</math>来辅助读者对稳定序数的理解，请注意，它的保序性尚未明确。</div>
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2025-07-03T13:34:56Z
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<div><math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>的<math>\Sigma_{n}</math>初等子结构，如果任取<math>\Sigma_{n}</math>公式<math>\varphi</math>均有单射j满足<math>L_{\alpha}</math>|=<math>\varphi</math>(<math>x_{1}</math>,<math>x_{2}</math>,…)等价于<math>L_{\beta}</math>|=<math>\varphi</math>(j(<math>x_{1}</math>),j(<math>x_{2}</math>),…)，也称其为<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\beta}</math><br />
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在BM4良序性证明中，我们构造了一个保序映射<math>f:Ord\rightarrow BMS</math></div>
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2025-07-03T13:30:57Z
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<div><math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>的<math>\Sigma_{n}</math>初等子结构，如果任取<math>\Sigma_{n}</math>公式<math>\varphi</math>均有单射j满足<math>L_{\alpha}</math>|=<math>\varphi</math>(<math>x_{1}</math>,<math>x_{2}</math>,…)等价于<math>L_{\beta}</math>|=<math>\varphi</math>(j(<math>x_{1}</math>),j(<math>x_{2}</math>),…)，也称其为<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\beta}</math><br />
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在BM4良序性证明中，我们构造了一个保序映射f:Ord<math>\rightarrow</math>BMS</div>
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2025-07-03T13:21:24Z
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<div><math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>的<math>\Sigma_{n}</math>初等子结构，如果任取<math>\Sigma_{n}</math>公式<math>\varphi</math>均有单射j满足<math>L_{\alpha}</math>|=<math>\varphi</math>(<math>x_{1}</math>,<math>x_{2}</math>,…)等价于<math>L_{\beta}</math>|=<math>\varphi</math>(j(<math>x_{1}</math>),j(<math>x_{2}</math>),…)，也称其为<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\beta}</math></div>
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2025-07-03T13:16:51Z
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<div><math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>的<math>\Sigma_{n}</math>初等子结构，如果任取<math>\Sigma_{n}</math>公式\varphi均有单射j满足L<sub>α</sub>|=φ(x1,x2,…)等价于L<sub>β</sub>|=φ(j(x1),j(x2),…)，也称其为L<sub>α</sub>稳定到L<sub>β</sub></div>
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<div><math>L_{\alpha}</math>是L<sub>β</sub>的∑<sub>n</sub>初等子结构，如果任取∑<sub>n</sub>公式φ均有单射j满足L<sub>α</sub>|=φ(x1,x2,…)等价于L<sub>β</sub>|=φ(j(x1),j(x2),…)，也称其为L<sub>α</sub>稳定到L<sub>β</sub></div>
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2025-07-03T12:47:44Z
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<div>L<sub>α</sub>是L<sub>β</sub>的∑<sub>n</sub>初等子结构，如果任取∑<sub>n</sub>公式φ均有单射j满足L<sub>α</sub>|=φ(x1,x2,…)等价于L<sub>β</sub>|=φ(j(x1),j(x2),…)，也称其为L<sub>α</sub>稳定到L<sub>β</sub></div>
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<div>L_{\alpha}是L<sub>β</sub>的∑<sub>n</sub>初等子结构，如果任取∑<sub>n</sub>公式φ均有单射j满足L<sub>α</sub>|=φ(x1,x2,…)等价于L<sub>β</sub>|=φ(j(x1),j(x2),…)，也称其为L<sub>α</sub>稳定到L<sub>β</sub></div>
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<div>L<sub>α</sub>是L<sub>β</sub>的∑<sub>n</sub>初等子结构，如果任取∑<sub>n</sub>公式φ均有单射j满足L<sub>α</sub>|=φ(x1,x2,…)等价于L<sub>β</sub>|=φ(j(x1),j(x2),…)，也称其为L<sub>α</sub>稳定到L<sub>β</sub></div>
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<div>L<sub>α</sub>是L<sub>β</sub>的∑<sub>n</sub>初等子结构，如果任取∑<sub>n</sub>公式φ均有单射j满足L<sub>α</sub>|=φ(x1,x2,…)等价于L<sub>β</sub>|=φ(j(x1),j(x2),…)</div>
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<p>大数爱好者：创建页面，内容为“L<sub>α</sub>是L<sub>β</sub>的∑<sub>n</sub>初等子结构，如果任取∑<sub>n</sub>公式φ均有L<sub>α</sub>|=φ当且仅当L<sub>β</sub>|=φ”</p>
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<div>L<sub>α</sub>是L<sub>β</sub>的∑<sub>n</sub>初等子结构，如果任取∑<sub>n</sub>公式φ均有L<sub>α</sub>|=φ当且仅当L<sub>β</sub>|=φ</div>
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